设可导函数y=y(x)由确定,则( )

admin2022-06-09  38

问题 设可导函数y=y(x)由确定,则(          )

选项 A、x=0不是y=y(x)的驻点
B、x=0是y=y(x)的极小值点
C、x=0是y=y(x)的极大值点
D、在x=0的邻域(﹣δ,δ)(δ>0)内,y=y(x)是单调函数

答案C

解析 由x=arctan t,得dx/dt=1/1+t2,再由y=ln(1-t2)-sin y,两边同时对t求导,得
dy/dt=-2t/1-t2-cosy dy/dt
解得dy/dt=-2t/(1-t2)(1+cosy)
当x=0时,由x=arctan t,知t=0,且当x>0(x<0)时,有t>0(t<0)
由y=ln(1一t2)-sin y,知当x=0,即t=0时,有y=0,故在x=0的邻域(-δ,δ)内,有
dy/dx=dy/dt·dt/dx=-2t(1+t2)/1-t2)(1+cosy)
综上所述,x=0是y=y(x)的极大值点,C正确
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