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已知f(x)在[0,3π/2]上连续,在(0,3π/2)内是函数的一个原函数,且f(0)=0。 证明f(x)在区间(0,3π/2)内存在唯一零点。
已知f(x)在[0,3π/2]上连续,在(0,3π/2)内是函数的一个原函数,且f(0)=0。 证明f(x)在区间(0,3π/2)内存在唯一零点。
admin
2019-08-01
38
问题
已知f(x)在[0,3π/2]上连续,在(0,3π/2)内是函数
的一个原函数,且f(0)=0。
证明f(x)在区间(0,3π/2)内存在唯一零点。
选项
答案
因为f(x)在区间[0,3π/2]上的平均值为1/3π,所以由积分中值定理可知,存在ξ∈[0,3π/2],使得f(s)=1/3π>0。 由f’(x)=[*]可知: 当0<x<π/2时,f’(x)<0,f(x)单调递减,于是f(π/2)<f(0)=0; 当π/2<x<3π/2时,f’(x)>0,f(x)单调递增,于是ξ∈(π/2,3π/2],且f(ξ)>0。 由零点定理和f(x)的单调性可知,f(x)在(π/2,ξ)[*](0,3π/2)上有唯一的零点。
解析
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考研数学二
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