已知f(x)在[0，3π／2]上连续，在(0，3π／2)内是函数的一个原函数，且f(0)=0。证明f(x)在区间(0，3π／2)内存在唯一零点。

admin2019-08-01 67

问题已知f(x)在[0，3π／2]上连续，在(0，3π／2)内是函数

的一个原函数，且f(0)=0。
证明f(x)在区间(0，3π／2)内存在唯一零点。

选项

答案因为f(x)在区间[0，3π／2]上的平均值为1／3π，所以由积分中值定理可知，存在ξ∈[0，3π／2]，使得f(s)=1／3π＞0。由f’(x)=[*]可知：当0＜x＜π／2时，f’(x)＜0，f(x)单调递减，于是f(π／2)＜f(0)=0；当π／2＜x＜3π／2时，f’(x)＞0，f(x)单调递增，于是ξ∈(π／2，3π／2]，且f(ξ)＞0。由零点定理和f(x)的单调性可知，f(x)在(π／2，ξ)[*](0，3π／2)上有唯一的零点。

解析

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