2. 考研
  3. (11)设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且 (Ⅰ)求A的所有特征值与特征向量． (Ⅱ)求矩阵A．

(11)设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且 (Ⅰ)求A的所有特征值与特征向量． (Ⅱ)求矩阵A．

admin2019-08-01  59
问题 (11)设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且

(Ⅰ)求A的所有特征值与特征向量．
(Ⅱ)求矩阵A．
选项
答案(Ⅰ)由于A的秩为2，故0是A的一个特征值．由题设可得 [*] 所以，-1是A的一个特征值，且属于-1的特征向量为k1(1，0，-1)T，k1为任意非零常数；1也是A的一个特征值，且属于1的特征向量为k2(1，0，1)T，k2为任意非零常数． 设x=(x1，x2，x3)T为A的属于0的特征向量，由于A为实对称矩阵，A的属于不同特征值的特征向量相 互正交，则 [*] 解得上面齐次线性方程组的基础解系为(0，1，0)T，于是属于0的特征向量为是k3(0，1，0)T，其中k3为任意非零常数． (Ⅱ)今矩阵P=[*]，则P-1AP=[*]，于是 [*]
解析
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考研数学二

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