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[2015年] 设二次型f(x1，x2，x3)在正交交换X=PY下的标准形为2y12+y22－y32，其中P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，一e3，e2)，则(x1，x2，x3)在正交交换X=QY下的标准形为
[2015年] 设二次型f(x1，x2，x3)在正交交换X=PY下的标准形为2y12+y22－y32，其中P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，一e3，e2)，则(x1，x2，x3)在正交交换X=QY下的标准形为
admin
2019-05-10
57
问题
[2015年] 设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)在正交交换X=PY下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
－y
3
2
，其中P=(e
1
，e
2
，e
3
)．若Q=(e
1
，一e
3
，e
2
)，则(x
1
，x
2
，x
3
)在正交交换X=QY下的标准形为
选项
A、2y
1
2
一y
2
2
+y
3
2
B、2y
1
2
+y
2
2
一y
3
2
C、2y
1
2
一y
2
2
一y
3
2
D、2y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
答案
A
解析
已知f经正交变换X=PY化为标准形2y
1
2
+y
2
2
一y
3
2
，即P
-1
AP=
显然二次型矩阵的特征值唯一，但排列的次序可以不一样，因而正交变换矩阵也不是唯一的，现特征值的排列顺序为2，一1，1．因而相应的特征向量为Q=(e
1
，一e
3
，e
2
)，至此即可写出标准形．
因e
1
，一e
3
，e
2
分别为特征值2，一1，1对应的特征向量，故在正交变换X=QY下二次型f的标准形为2y
1
2
一y
2
2
+y
3
2
．仅(A)入选．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2VV4777K
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