2. 考研
  3. 已知αi=(αi1，αi2…，αin)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组 的非零解向量．试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

已知αi=(αi1，αi2…，αin)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组 的非零解向量．试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

admin2018-07-27  95
问题 已知αi=(αi1，αi2…，αin)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组

的非零解向量．试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．
选项
答案由题设条件有βTαi=0(i=1，2，…，r)．设 k1α1+…+krαr+kr+1β=0 (*) 两端左乘βT，得kr+1βTβ=0，又β≠0，[*]βTβ=‖β‖2＞0，故kr+1=0 代入(*)式，得k1α1+…+krαr=0，又α1，…，αr线性无关，所以有k1=…=kr=0，因此α1，…，αr，β线性无关．
解析
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考研数学三

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