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求正交变换化二次型x12+x22+x32+4x1x2-4x2x3-4x1x3为标准形.
求正交变换化二次型x12+x22+x32+4x1x2-4x2x3-4x1x3为标准形.
admin
2018-06-27
59
问题
求正交变换化二次型x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
+4x
1
x
2
-4x
2
x
3
-4x
1
x
3
为标准形.
选项
答案
二次型矩阵A=[*],由特征多项式 |λE-A|=[*]=(λ+3)(λ-3)
2
, 得特征值为λ
1
=λ
2
=3,λ
3
=-3. 由(3E-A)x=0得基础解系α
1
=(-1,1,0)T,α
2
=(-1,0,1)
T
,即λ=3的特征向量是α
1
,α
2
. 由(-3E-A)x=0得基础解系α
3
=(1,1,1)
T
. 对α
1
,α
2
经Schmidt正交化,有 β
1
=α
1
,β
2
=αα
2
-[*] 单位化,得 [*] 那么,令x=Qy,其中Q=(γ
1
,γ
2
,γ
3
),则有f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax=y
T
Ay=3y
1
2
+3y
2
2
-3y
3
2
.
解析
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0
考研数学二
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