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某湖泊的水量为V,每年排人湖泊内含污染物A的污水量为,流入湖泊内不含A的水量为,流出湖泊的水量为.已知1999年年底湖中A的含量为5m0,超过国家规定指标,为了治理污染,从2000年年初起,限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过.问至多需经过多少年,湖泊中污染
某湖泊的水量为V,每年排人湖泊内含污染物A的污水量为,流入湖泊内不含A的水量为,流出湖泊的水量为.已知1999年年底湖中A的含量为5m0,超过国家规定指标,为了治理污染,从2000年年初起,限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过.问至多需经过多少年,湖泊中污染
admin
2014-01-26
103
问题
某湖泊的水量为V,每年排人湖泊内含污染物A的污水量为
,流入湖泊内不含A的水量为
,流出湖泊的水量为
.已知1999年年底湖中A的含量为5m
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,超过国家规定指标,为了治理污染,从2000年年初起,限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过
.问至多需经过多少年,湖泊中污染物A的含量可降至m
0
以内?(注:设湖水中A的浓度是均匀的.)
选项
答案
设从2000年初(令此时t=0)开始,第,年湖泊中污染物A的总量为m(t).浓度为[*].则在时间间隔[t,t+dt]上,排入湖泊中A的量近似为[*],排出量近似为[*],因此在时间间隔[t,t+dt]上m(t)的改变虽为[*].这是可分离变量方程,分离变量并积分得 [*],代入初始条件m(0)=5m
0
, 得 [*],于是 [*]. 令m=m
0
,得t=6ln3,即至多需经过6ln3年,湖泊中污染物A的含量能降至m
0
以内.
解析
[分析] 如设m(t)为自2000年后第t年湖泊中污染物A的含量,此时浓度为
.在时间间隔[t,t+dt]上,排入湖泊中的污染物A的量近似为
,排出量近似为
的增量近似为
,从而转化为微分方程问题.
[评注] 本题属于用微分表示改变量,通过微元法建立微分方程的简单数学建模问题.应熟练掌握这种简单的建模思想.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2m34777K
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考研数学二
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