某湖泊的水量为V，每年排人湖泊内含污染物A的污水量为，流入湖泊内不含A的水量为，流出湖泊的水量为．已知1999年年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年年初起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过．问至多需经过多少年，湖泊中污染

admin2014-01-26 108

问题某湖泊的水量为V，每年排人湖泊内含污染物A的污水量为

，流入湖泊内不含A的水量为

，流出湖泊的水量为

．已知1999年年底湖中A的含量为5m₀，超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年年初起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过

．问至多需经过多少年，湖泊中污染物A的含量可降至m₀以内?(注：设湖水中A的浓度是均匀的．)

选项

答案设从2000年初(令此时t＝0)开始，第，年湖泊中污染物A的总量为m(t)．浓度为[*]．则在时间间隔[t，t＋dt]上，排入湖泊中A的量近似为[*]，排出量近似为[*]，因此在时间间隔[t，t＋dt]上m(t)的改变虽为[*]．这是可分离变量方程，分离变量并积分得 [*]，代入初始条件m(0)＝5m₀，得 [*]，于是 [*]．令m＝m₀，得t＝6ln3，即至多需经过6ln3年，湖泊中污染物A的含量能降至m₀以内．

解析 [分析] 如设m(t)为自2000年后第t年湖泊中污染物A的含量，此时浓度为

．在时间间隔[t，t＋dt]上，排入湖泊中的污染物A的量近似为

，排出量近似为

的增量近似为

，从而转化为微分方程问题．
[评注] 本题属于用微分表示改变量，通过微元法建立微分方程的简单数学建模问题．应熟练掌握这种简单的建模思想．

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考研数学二

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