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设f(x)在区间[0,+∞)上可导,f(0)=0,g(x)是f(x)的反函数,且∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex-ex+1. 求f(x),并要求证明:得出来的f(x)在区间[0,+∞)上的确存在反函数.
设f(x)在区间[0,+∞)上可导,f(0)=0,g(x)是f(x)的反函数,且∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex-ex+1. 求f(x),并要求证明:得出来的f(x)在区间[0,+∞)上的确存在反函数.
admin
2018-07-23
99
问题
设f(x)在区间[0,+∞)上可导,f(0)=0,g(x)是f(x)的反函数,且∫
0
f(x)
g(t)dt+∫
0
x
f(t)dt=xe
x
-e
x
+1.
求f(x),并要求证明:得出来的f(x)在区间[0,+∞)上的确存在反函数.
选项
答案
将∫
0
f(x)
g(t)dt+∫
0
x
f(t)dt=xe
x
-e
x
+1 两边对x求导,得 g[f(x)]fˊ(x)+f(x)=xe
x
. 由于g[f(x)]=x,上式成为 xfˊ(x)+ f(x)=xe
x
. 当x>0时,上式可以写为 [*] 由一阶线性微分方程的通解公式,得通解 [*] 由f(x)在x=0处可导且f(0)=0,得 [*] 当且仅当C=1时上式成立,所以 [*] 下面证明上面得到的f(x)在区间[0,+∞)上的确存在反函数.由所得到的表达式f(x)在区间[0,+∞)上连续,所以只要证明f(x)在(0,+∞)上单调即可.由 [*] 取其分子,记为 φ(x)=x
2
e
x
-xe
x
+e
x
-1, 有φ(0)=0,φˊ(x)=(x
2
+x)e
x
>0,当x∈(0,+∞)时,φ(x)> φ(0)=0,fˊ(x)>0.所以,f(x)在区间[0,+∞)上存在反函数.证毕.
解析
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