设f(x)在区间[0，+∞)上可导，f(0)=0，g(x)是f(x)的反函数，且∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex－ex+1．求f(x)，并要求证明：得出来的f(x)在区间[0，+∞)上的确存在反函数．

admin2018-07-23 109

问题设f(x)在区间[0，+∞)上可导，f(0)=0，g(x)是f(x)的反函数，且∫₀^f(x)g(t)dt+∫₀^xf(t)dt=xe^x－e^x+1．
求f(x)，并要求证明：得出来的f(x)在区间[0，+∞)上的确存在反函数．

选项

答案将∫₀^f(x)g(t)dt+∫₀^xf(t)dt=xe^x－e^x+1 两边对x求导，得 g[f(x)]fˊ(x)+f(x)=xe^x．由于g[f(x)]=x，上式成为 xfˊ(x)+ f(x)=xe^x．当x>0时，上式可以写为 [*] 由一阶线性微分方程的通解公式，得通解 [*] 由f(x)在x=0处可导且f(0)=0，得 [*] 当且仅当C=1时上式成立，所以 [*] 下面证明上面得到的f(x)在区间[0，+∞)上的确存在反函数．由所得到的表达式f(x)在区间[0，+∞)上连续，所以只要证明f(x)在(0，+∞)上单调即可．由 [*] 取其分子，记为 φ(x)=x²e^x－xe^x+e^x－1，有φ(0)=0，φˊ(x)=(x²+x)e^x＞0，当x∈(0，+∞)时，φ(x)> φ(0)=0，fˊ(x)>0．所以，f(x)在区间[0，+∞)上存在反函数．证毕．

解析

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考研数学二

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设f(x)在区间[0，+∞)上可导，f(0)=0，g(x)是f(x)的反函数，且∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex－ex+1．求f(x)，并要求证明：得出来的f(x)在区间[0，+∞)上的确存在反函数．

考研数学二

设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关，问：(I)α1能否由α2，α3线性表出?证明你的结论．(Ⅱ)α4能否由α1，α2，α3线性表出?证明你的结论．

证明：当0＜a＜b＜π时，bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．

曲线y＝x2＋x(x＜0)上曲率为的点的坐标是______．

设A为3阶矩阵，a1，a2为A的分别属于特征值-1、1的特征向量，向量a3满足Aa3=a2+a3，(Ⅰ)证明a1，a2，a3线性无关；(Ⅱ)令P=(a1，a2，a3，求P-1AP．

计算下列积分：

计算二重积分dχdy。其中D是由y＝－a＋(a＞0)及y＝－χ所围成的区域．

设f(x)在区间[0，1]上可导，f(1)=x2f(x)dx．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．

设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f"(x)≥0．证明：

已知线性方程组的通解为[2，1，0，1]T+k[1，一1，2，0]T．记αj=[a1j，a2j，a3j，a4j]T，j=1，2，…，5．问：(1)α4能否由α1，α2，α3，α5线性表出，说明理由；(2)α4能否由α1，α2，α

对于实数x＞0，定义对数函数Inx=依此定义试证：(1)=一lnx(x＞0)；(2)ln(xy)=lnx+Iny(x＞0，y＞0)．

∫cos5xsinxxdx

不予追究刑事责任的情形包括()。

某企业购入物资一批，货款付清，物资入库。该项业务中，取得或填制的原始凭证有：增值税专用发票1张，银行结算凭证1张，收料单5张，收料凭证汇总表1张，则在记账凭证中注明的附件张数应为(　　)。

总经理因故临时不能履行职权的，由理事会指定副总经理代其履行职权。(　　)

金融机构通过收益留成来增加资本的优越性在于()。

限制民事行为能力人订立纯获利益的合同()。

货币政策是政府调控宏观经济的基本手段之一，当通货膨胀较为严重时，应该采取的货币政策是：

A、 B、 C、 D、 C

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