首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)在区间[0,+∞)上可导,f(0)=0,g(x)是f(x)的反函数,且∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex-ex+1. 求f(x),并要求证明:得出来的f(x)在区间[0,+∞)上的确存在反函数.
设f(x)在区间[0,+∞)上可导,f(0)=0,g(x)是f(x)的反函数,且∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex-ex+1. 求f(x),并要求证明:得出来的f(x)在区间[0,+∞)上的确存在反函数.
admin
2018-07-23
105
问题
设f(x)在区间[0,+∞)上可导,f(0)=0,g(x)是f(x)的反函数,且∫
0
f(x)
g(t)dt+∫
0
x
f(t)dt=xe
x
-e
x
+1.
求f(x),并要求证明:得出来的f(x)在区间[0,+∞)上的确存在反函数.
选项
答案
将∫
0
f(x)
g(t)dt+∫
0
x
f(t)dt=xe
x
-e
x
+1 两边对x求导,得 g[f(x)]fˊ(x)+f(x)=xe
x
. 由于g[f(x)]=x,上式成为 xfˊ(x)+ f(x)=xe
x
. 当x>0时,上式可以写为 [*] 由一阶线性微分方程的通解公式,得通解 [*] 由f(x)在x=0处可导且f(0)=0,得 [*] 当且仅当C=1时上式成立,所以 [*] 下面证明上面得到的f(x)在区间[0,+∞)上的确存在反函数.由所得到的表达式f(x)在区间[0,+∞)上连续,所以只要证明f(x)在(0,+∞)上单调即可.由 [*] 取其分子,记为 φ(x)=x
2
e
x
-xe
x
+e
x
-1, 有φ(0)=0,φˊ(x)=(x
2
+x)e
x
>0,当x∈(0,+∞)时,φ(x)> φ(0)=0,fˊ(x)>0.所以,f(x)在区间[0,+∞)上存在反函数.证毕.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2oj4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
[*]
A、 B、 C、 D、 C
设z=z(x,y)是由x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0确定的函数,求z=z(x,y)的极值点和极值.
设半径为1的球正好有一半沉入水中,球的比重为1,现将球从水中取出,问要作多少功?(假设在球从水中取出的过程中水面的高度不变.)
y=2x的麦克劳林公式中xn项的系数是________.
已知函数f(x)在区间[a,+∞)上具有2阶导数,f(a)=0,(x)>0,(x)>0,设b>a,曲线y=f(x)在点(b,f(b))处的切线与x轴的交点是(x0,0),证明a<x0<b.
设f(x)在区间[a,b]上二阶可导且f"(x)≥0.证明:
设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导,且f"(x)≥0,φ(x)是区间[a,b]上的非负连续函数,且∫abφ(x)dx=1.证明:∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx].
对数螺线r=eθ在(r,θ)=处的切线的直角坐标方程.
计算I=∫Г(x2+y2)zds,其中Г为锥面螺线x=tcost,y=tsint,z=t上相应于t从0变到1的一段弧.
随机试题
阅读《宝黛吵架》中的一段文字,然后回答下列小题。谁知这个话传到宝玉黛玉二人耳内,他二人竟从来没有听见过“不是冤家不聚头”的这句俗话儿,如今忽然得了这句话,好似参禅的一般,都低头细嚼这句话的滋味儿,不觉的潸然泪下。虽然不曾见面,却一个在潇湘馆临风洒泪
蛋白质溶液的稳定因素是
女,63岁,脑卒中后右侧偏瘫就诊康复科,体格检查:神志清楚,言语清晰,左侧肢体活动自如。右侧上下肚肌张力增高,被动活动右上肢,在关节活动范围后50%范围内出现突然卡住,然后在关节活动范围的后50%均呈现最小的阻力;被动活动左、右下肢,在关节活动范围之末时出
能明显提高高密度脂蛋白HDL的药物是
某妇女,35岁,妊娠42周,临产10小时,检查:胎心音120次/分,宫口3cm,有水囊感,S=0,B超双顶径9cm,羊水深度2.5cm,其处理以下列哪项为最佳
建筑工地上用以拌制混合砂浆的石灰膏必须经过一定时间的陈伏,这是为了消除()的不利影响。
民事法律关系的终止,是指某类民事法律关系主体之间的权利义务不复存在,彼此丧失了( )。法律关系内容变更中,一方的权利增加,也就意味着另一方的( )。
下列物品不属于民用危险品的是()。
根据以下资料,回答以下问题。2012年1~8月,北京市开发区累计完成招商项目2730个,比上年同期增长21.5%:项目总投资,597.5亿元,同比下降13.4%;企业注册资本435.8亿元,同比下降7.7%;合同外资金额10.3亿美元,同比下降3
计算机软件可划分为系统软件和应用软件两大类,以下哪个软件系统不属于系统软件?
最新回复
(
0
)