首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)在区间[0,+∞)上可导,f(0)=0,g(x)是f(x)的反函数,且∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex-ex+1. 求f(x),并要求证明:得出来的f(x)在区间[0,+∞)上的确存在反函数.
设f(x)在区间[0,+∞)上可导,f(0)=0,g(x)是f(x)的反函数,且∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex-ex+1. 求f(x),并要求证明:得出来的f(x)在区间[0,+∞)上的确存在反函数.
admin
2018-07-23
101
问题
设f(x)在区间[0,+∞)上可导,f(0)=0,g(x)是f(x)的反函数,且∫
0
f(x)
g(t)dt+∫
0
x
f(t)dt=xe
x
-e
x
+1.
求f(x),并要求证明:得出来的f(x)在区间[0,+∞)上的确存在反函数.
选项
答案
将∫
0
f(x)
g(t)dt+∫
0
x
f(t)dt=xe
x
-e
x
+1 两边对x求导,得 g[f(x)]fˊ(x)+f(x)=xe
x
. 由于g[f(x)]=x,上式成为 xfˊ(x)+ f(x)=xe
x
. 当x>0时,上式可以写为 [*] 由一阶线性微分方程的通解公式,得通解 [*] 由f(x)在x=0处可导且f(0)=0,得 [*] 当且仅当C=1时上式成立,所以 [*] 下面证明上面得到的f(x)在区间[0,+∞)上的确存在反函数.由所得到的表达式f(x)在区间[0,+∞)上连续,所以只要证明f(x)在(0,+∞)上单调即可.由 [*] 取其分子,记为 φ(x)=x
2
e
x
-xe
x
+e
x
-1, 有φ(0)=0,φˊ(x)=(x
2
+x)e
x
>0,当x∈(0,+∞)时,φ(x)> φ(0)=0,fˊ(x)>0.所以,f(x)在区间[0,+∞)上存在反函数.证毕.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2oj4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
如图,正方形{(z,y)||x|≤1,|y|≤1}被其对角线划分为四个区域Dk(k=1,2,3,4),Ik==
若矩阵A=相似于对角矩阵A,试确定常数n的值,并求可逆矩阵P使P-1AP=A.
设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn(n=1,2,…).(1)证明存在,并求该极限;(2)计算
已知矩阵且矩阵X满足AXA+BXB=AXB+BXA+E,其中E是3阶单位矩阵,求X.
已知曲线的极坐标方程是r=1-cosθ,求该曲线上二对应于θ=π/6处的切线与法线的直角坐标方程.
设f(x)在区间[0,1]上可导,f(1)=x2f(x)dx.证明:存在ξ∈(0,1),使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0.
设函数f(x)在区间[a,+∞)内连续,且当x>a时,f’(x)>l>0,其中l为常数,若f(a)<0,则在区间内方程f(x)=0的实根个数为()
求极限:
求下列积分:
下列命题正确的是()
随机试题
关于银行的“风险管理部门”的说法正确的是()。
简述毛泽东行政组织思想的理论渊源。
关于心包摩擦音的叙述,不正确的是
治疗眼病、热病、神志病,宜选用的经脉是
孕妇妊娠8个月,产前来医院咨询,对母乳喂养的婴儿如何预防佝偻病的发生,以下几项中有哪一项是错误的( )。
A平肝潜阳,息风止痉B平肝潜阳,清肝明目C平肝潜阳,清热解毒D息风止痉,解毒散结E息风止痉,清肝明目蜈蚣与全蝎均具有的功效是()
可靠性原则要求企业的各项财产在取得时按实际发生的成本计量,其后各项财产如果发生了价值减损,应根据谨慎性原则计提减值准备,计提的减值准备减少资产的账面价值;如果各项财产发生的升值,应根据可靠性的原则相应调整增加财产的账面价值。()
在发票的各联次中,由收执方作为付款或收款原始凭证的称为()。
()预测是指利用各种经济因素的统计数据或它们之间的数量依存关系来推测未来事件的发展程度。
下列不正确的叙述是( )。
最新回复
(
0
)