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设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为 (I)求X与Y的相关系数; (Ⅱ)令Z=XY,求Z的数学期望与方差.
设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为 (I)求X与Y的相关系数; (Ⅱ)令Z=XY,求Z的数学期望与方差.
admin
2017-08-07
60
问题
设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为
(I)求X与Y的相关系数;
(Ⅱ)令Z=XY,求Z的数学期望与方差.
选项
答案
求X与Y的相关系数通常是计算EX,EY,DX,DY,EXY,然后根据公式求得ρ
XY
. EX=∫
-∞
+∞
∫
-∞
+∞
xf(x,y)dxdy=∫
0
+∞
∫
0
+∞
xye
-(x+y)
dxdy=∫
0
+∞
xe
-x
dx∫
0
+∞
ye
-y
dy=1 EX
2
=∫
0
+∞
∫
0
+∞
x
2
ye
-(x+y)
dxdy=∫
0
+∞
x
2
e
-x
dx∫
0
+∞
ye
-y
dy=Γ(3).Γ(2)=2 DX=EX
2
一(EX)
2
=1. 同样方法可以计算出EY=DY=2.又 EZ=EXY=∫
0
+∞
∫
0
+∞
xy
2
e
-(x+y)
dxdy =∫
0
+∞
y
2
e
-y
dy∫
0
+∞
xe
-x
dx=Γ(3).Γ(2)=2, E(XY)
2
=∫
0
+∞
∫
0
+∞
x
2
y
3
e
-(x+y)
dxdy=∫
0
+∞
y
3
e
-y
dy∫
0
+∞
x
2
e
-x
dx=Γ(4).Γ(3)=12 (I)由于Cov(X,Y)=EXY—EXEY=0,故 [*] (Ⅱ)DZ=DXY=E(XY)
2
一[E(XY)]
2
=12—2
2
=8.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2or4777K
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