设α，β为三维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别为α，β的转置。证明： (Ⅰ)秩r(A)≤2； (Ⅱ)若α，β线性相关，则r(A)＜2。

admin2019-07-23 31

问题设α，β为三维列向量，矩阵A=αα^T+ββ^T，其中α^T，β^T分别为α，β的转置。
证明：
(Ⅰ)秩r(A)≤2；
(Ⅱ)若α，β线性相关，则r(A)＜2。

选项

答案(Ⅰ) r(A)=r(αα^T+ββ^T)≤r(αα^T)+r(ββ^T)≤r(α)+r(β)≤2。 (Ⅱ)若α，β线性相关，则存在不全为零的k₁，k₂使k₁α+k₂β=0，不妨设k₂≠0，则β=kα，那么 r(A)=r[αα^T+(kα)(kα)^T]=r[(1+k²)αα^T]=r(αα^T)≤1＜2。

解析

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考研数学一

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