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  3. 设随机变量X和Y的联合分布在以点(0，1)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量Z=X+Y的方差．

设随机变量X和Y的联合分布在以点(0，1)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量Z=X+Y的方差．

admin2019-05-08  102
问题 设随机变量X和Y的联合分布在以点(0，1)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量Z=X+Y的方差．
选项
答案解一 令G={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≥1}(见图3．4．2．1)．由题设知(X，Y)在G上服从均匀分布．由定义3．3．4．1及SG=1／2，得到其概率密度f(x，y)为 [*] 注意到G及D关于y=x对称，有 [*] 利用这些性质及命题3．4．2．1，得到 [*] 故D(Z)=D(X+Y)=E[(X+Y)2]－[E(x+y)]2=11／6－16／9=1／18． 解二 下用求不相互独立的两个随机变量X与Y之和Z=X+Y的卷积公式(3．3．3．1)式 [*] 求出其概率密度f(z)．为此改写f(x，y)．由 [*] 在xOz平面上f取正值的区域为0≤x≤1，O≤z－x≤1，z≥1所围成的区域G1={(x，y)|0≤x≤1，0≤z－x≤1，z≥1}(见图3．4．2．2)．因而 [*] 故 [*] 于是 [*] D(X+Y)=D(Z)=E(Z2)－[E(Z)]2=E(X+Y)2－[E(X+Y)]2=11／6－(4／3)2=1／18． 注：定义3．3．4．1 设G是有界平面区域，其面积为SG，若二维随机变量(X，Y)的概率密度函数为 [*] 则称(X，Y)在G上服从二维均匀分布． 命题3．4．2．1 [*] 其中f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度.
解析
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考研数学三

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