设A为m×n实矩阵,E为n阶单位矩阵.已知矩阵B=2E+ATA.试证:当λ>0时,矩阵B为正定矩阵.

admin2019-05-08  30

问题 设A为m×n实矩阵,E为n阶单位矩阵.已知矩阵B=2E+ATA.试证:当λ>0时,矩阵B为正定矩阵.

选项

答案证一 下面证B为实对称矩阵,且对任意X≠0,有XTBX>0. 因BT=(λE+ATA)T=(λE)T+(ATA)T=λE+ATA=B,故B为n阶实对称矩阵.又对任意的n维向量X,有 XTBX=XT(λE+ATA)X=λXTX+XTATAX=λXTX+(AX)T(AX). 当X≠0时,有XTX>0,(AX)TAX≥0,因此当λ>0时,对任意X≠0,有 XTBX=λXTX+(AX)T(AX)>0, 则B为正定矩阵. 证二 为证B正定,下证B的特征值全大于零.设μ为B的任意一特征值,X为对应的特征向量,则BX=μX,即 (λE+ATA)X=μX,亦即 λX+ATAX=μX (X≠0). 两边左乘XT,得到 λXTX+λXTATAX=λXTX+λ(AX)T(AX)=μXTX. 因X≠0,故XTX>0.又λ>0(题设),故λXTX>0,而(AX)TAX≥0,从而λ(AX)T(AX)≥0,故 λXTX+λ(AX)T(AX)>0, 即 μXTX>0. 而XTX>0,故μ>0,即B的特征值全大于零,故B正定.

解析
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