2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明：2x－∫0xf(t)dt=1在(0，1)内有且仅有一个实根．

设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明：2x－∫0xf(t)dt=1在(0，1)内有且仅有一个实根．

admin2022-06-30  73
问题 设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明：2x－∫0xf(t)dt=1在(0，1)内有且仅有一个实根．
选项
答案令φ(x)=2x－∫0xf(t)dt－1， φ(0)＝－1．φ(1)=1－∫01f(t)dt， 由f(x)＜1得∫01f(t)dt＜1，从而φ(1)=1－∫01f(t)dt＞0， 由零点定理，存在c∈(0，1)，使得φ(c)=0，即方程2x－∫0xf(t)dt=1至少有一个实根． 因为φ’(x)=2－f(x)＞0，所以φ(x)在[0，1]上严格递增，故2x－∫0xf(t)dt=1在(0，1)内有且仅有一个实根．
解析
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考研数学二

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