设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)<1,证明:2x-∫0xf(t)dt=1在(0,1)内有且仅有一个实根.

admin2022-06-30  38

问题 设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)<1,证明:2x-∫0xf(t)dt=1在(0,1)内有且仅有一个实根.

选项

答案令φ(x)=2x-∫0xf(t)dt-1, φ(0)=-1.φ(1)=1-∫01f(t)dt, 由f(x)<1得∫01f(t)dt<1,从而φ(1)=1-∫01f(t)dt>0, 由零点定理,存在c∈(0,1),使得φ(c)=0,即方程2x-∫0xf(t)dt=1至少有一个实根. 因为φ’(x)=2-f(x)>0,所以φ(x)在[0,1]上严格递增,故2x-∫0xf(t)dt=1在(0,1)内有且仅有一个实根.

解析
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