设函数f（x)二阶连续可导，f(0)=1,且有,求f(x).

admin2020-03-16 69

问题设函数f（x)二阶连续可导，f(0)=1,且有

,求f(x).

选项

答案[*] 两边对x求导得f"(x)+3f’(x)+2f(x)=e^-x, 由λ²+3λ+2=0得到λ₁=-1,λ₂=-2, 则方程f"(x)+3f’(x)+2f(x)=0的通解为C₁e^-x+C₂e^-2x. 令f"(x)+3f’(x)+2f(x)=e^-x的一个特解为y₀=axe^-x,代入得a=1, 则原方程的通解为f(x)=C₁e^-x+C₂e^-2x+xe^-x. 由f(0)=1,f’(0)=-1得C₁=0，C₂=1，故原方程的解为f(x)=e^-2x+xe^-x.

解析

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