2. 考研
  3. 设3维向量组α1，α2线性无关，β1，β2线性无关． 证明存在非零3维向量ξ，ξ既可由α1，α2线性表出，也可由β1，β2线性表出；

设3维向量组α1，α2线性无关，β1，β2线性无关． 证明存在非零3维向量ξ，ξ既可由α1，α2线性表出，也可由β1，β2线性表出；

admin2018-07-23  38
问题 设3维向量组α1，α2线性无关，β1，β2线性无关．
证明存在非零3维向量ξ，ξ既可由α1，α2线性表出，也可由β1，β2线性表出；
选项
答案因α1，α2，β1，β2均是3维向量，4个3维向量必线性相关．由定义知，存在不全为零的数k1，k2，λ1，λ2，使得 k1α1+ k2α2+λ1β1+λ2β2=0． 得 k1α1+ k2α2=－λ1β1－λ2β2． 取 ξ= k1α1+ k2α2=－λ1β1－λ2β2， 若ξ=0，则k1α1+ k2α2=－λ1β1－λ2β2=0． 因α1，α2线性无关，β1，β2也线性无关，从而得出k1=k2，且λ1=λ2，这和4个3维向量必线性相关矛盾，故ξ≠0．ξ即为所求的既可由α1，α2线性表出，也可由β1，β2线性表出的非零向量．
解析
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考研数学二

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