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设3维向量组α1，α2线性无关，β1，β2线性无关． 证明存在非零3维向量ξ，ξ既可由α1，α2线性表出，也可由β1，β2线性表出；
设3维向量组α1，α2线性无关，β1，β2线性无关． 证明存在非零3维向量ξ，ξ既可由α1，α2线性表出，也可由β1，β2线性表出；
admin
2018-07-23
79
问题
设3维向量组α
1
，α
2
线性无关，β
1
，β
2
线性无关．
证明存在非零3维向量ξ，ξ既可由α
1
，α
2
线性表出，也可由β
1
，β
2
线性表出；
选项
答案
因α
1
，α
2
，β
1
，β
2
均是3维向量，4个3维向量必线性相关．由定义知，存在不全为零的数k
1
，k
2
，λ
1
，λ
2
，使得 k
1
α
1
+ k
2
α
2
+λ
1
β
1
+λ
2
β
2
=0． 得 k
1
α
1
+ k
2
α
2
=－λ
1
β
1
－λ
2
β
2
． 取 ξ= k
1
α
1
+ k
2
α
2
=－λ
1
β
1
－λ
2
β
2
， 若ξ=0，则k
1
α
1
+ k
2
α
2
=－λ
1
β
1
－λ
2
β
2
=0． 因α
1
，α
2
线性无关，β
1
，β
2
也线性无关，从而得出k
1
=k
2
，且λ
1
=λ
2
，这和4个3维向量必线性相关矛盾，故ξ≠0．ξ即为所求的既可由α
1
，α
2
线性表出，也可由β
1
，β
2
线性表出的非零向量．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3sj4777K
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考研数学二
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