设y"前的系数为1的某二阶常系数线性非齐次微分方程的两个特解分别为y1=(1一x+x2)ex与y2=x2ex，则该微分方程为________．

admin2018-09-20 83

问题设y"前的系数为1的某二阶常系数线性非齐次微分方程的两个特解分别为y₁*=(1一x+x²)e^x与y₂*=x²e^x，则该微分方程为________．

选项

答案y"一2y’+y=2e^x

解析 y=y₁*—y₂*=(1一x+x²)e^x一x²e^x=(1一x)e^x=e^x—xe^x为对应的二阶常系数线性齐次微分方程的一个解．由二阶常系数线性齐次微分方程的特解与对应的特征根的关系，推知r=1为该二阶常系数线性齐次微分方程对应的特征方程的二重根，于是特征方程为
(r一1)²=r²—2r+1=0，
对应的齐次微分方程为
y"一2y’+y=0．
由y₂*=x²e^x知，此非齐次微分方程的形式为
y"一2y’+y=Ae^x，
其中常数A待定，以y₂*=x²e^x代入，得
x²e^x+4xe^x+2e^x一2(x²e^x+2xe^x)+x²e^x=Ae^x，所以A=2．答案即为所求．

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考研数学三

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设函数f(x)在区间[0，1]上具有连续导数，f(0)=1，且满足其中D1={(x，y)｜0≤x≤t，0≤y≤t-x}(0＜t≤1)．求f(x)的表达式．

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计算，其中D是由圆心在点(a，a)、半径为a且与坐标轴相切的圆周的较短一段弧和坐标轴所围成的区域．

求a的范围，使函数f(x)=x3+3ax2-ax1既无极大值又无极小值．

设矩阵A=，行列式｜A｜=-1，又A*有一个特征值λ0，属于λ0的一个特征向量为α=(-1，-1，1)T，求a，b，c及λ0的值．

设λ=2是可逆矩阵A的一个特征值，则的一个特征值是

设齐次线性方程组只有零解，则a满足的条件是______．

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