2. 考研
  3. 设y"前的系数为1的某二阶常系数线性非齐次微分方程的两个特解分别为y1*=(1一x+x2)ex与y2*=x2ex，则该微分方程为________．

设y"前的系数为1的某二阶常系数线性非齐次微分方程的两个特解分别为y1*=(1一x+x2)ex与y2*=x2ex，则该微分方程为________．

admin2018-09-20  76
问题 设y"前的系数为1的某二阶常系数线性非齐次微分方程的两个特解分别为y1*=(1一x+x2)ex与y2*=x2ex，则该微分方程为________．
选项
答案y"一2y’+y=2ex
解析 y=y1*—y2*=(1一x+x2)ex一x2ex=(1一x)ex=ex—xex为对应的二阶常系数线性齐次微分方程的一个解．由二阶常系数线性齐次微分方程的特解与对应的特征根的关系，推知r=1为该二阶常系数线性齐次微分方程对应的特征方程的二重根，于是特征方程为
    (r一1)2=r2—2r+1=0，
对应的齐次微分方程为
    y"一2y’+y=0．
    由y2*=x2ex知，此非齐次微分方程的形式为
    y"一2y’+y=Aex，
其中常数A待定，以y2*=x2ex代入，得
    x2ex+4xex+2ex一2(x2ex+2xex)+x2ex=Aex，所以A=2．答案即为所求．
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考研数学三

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