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[2008年] 设则在实数域上与A合同的矩阵为( ).
[2008年] 设则在实数域上与A合同的矩阵为( ).
admin
2019-04-15
78
问题
[2008年] 设
则在实数域上与A合同的矩阵为( ).
选项
A、
B、
C、
D、
答案
D
解析
解一 令
由
知,A的特征值λ
1
=3,λ
2
=-1,即A的正、负惯性指数都为1,于是|A|=λ
1
λ
2
<0,但|A
1
|>0,|A
2
|0,|A
3
|>0,可见(A)、(B)、(C)中矩阵的正、负惯性指数与A的都不同,因而A
1
,A
2
,A
3
与A都不合同.仅(D)入选.
解二 因
故A与A
4
的特征值相同且其重数也相同,故A与A
4
相似.又A与A
4
为同阶实对称矩阵,由命题2.6.4.2知,A与A
4
必合同.仅(D)入选.
解三 由两个矩阵A,B合同的定义知,存在可逆矩阵C,使B=C
T
AC,则
|B|=|A||C
T
||C|=|A||C|
2
,
因|C|
2
>0,故A与B合同必有|A|与|B|同号.由解一知,
|A|<0, |A
1
|>0, |A
2
|>0, |A
3
|>0,
而|A
4
|<0,故|A|与|A
4
|同号,由命题2.6.4.4(2)知,A与A
4
合同,仅(D)入选.
解四 用合同变换判别之.因
由命题2.6.4.3知,A与A
4
合同,且有P
T
AP=A
4
,其中
事实上,有
注:命题2.6.4.2 设A,B为实对称矩阵,若A,B相似,则A,B合同,反之未必成立.若A,B是一般n阶矩阵(不一定是实对称),则下述结论成立.
命题2.6.4.3 A与B合同的充要条件是A经过有限次相同的初等行变换和初等列变换得到B.
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考研数学三
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