[2008年] 设则在实数域上与A合同的矩阵为( )．

admin2019-04-15 76

问题 [2008年] 设

则在实数域上与A合同的矩阵为( )．

选项 A、
B、
C、
D、

答案D

解析解一令

由

知，A的特征值λ₁=3，λ₂=－1，即A的正、负惯性指数都为1，于是|A|=λ₁λ₂＜0，但|A₁|＞0，|A₂|0，|A₃|＞0，可见(A)、(B)、(C)中矩阵的正、负惯性指数与A的都不同，因而A₁，A₂，A₃与A都不合同．仅(D)入选．
解二因

故A与A₄的特征值相同且其重数也相同，故A与A₄相似．又A与A₄为同阶实对称矩阵，由命题2．6．4．2知，A与A₄必合同．仅(D)入选．
解三  由两个矩阵A，B合同的定义知，存在可逆矩阵C，使B=C^TAC，则
               |B|=|A||C^T||C|=|A||C|²，
因|C|²>0，故A与B合同必有|A|与|B|同号．由解一知，
                  |A|＜0，  |A₁|＞0，  |A₂|＞0，  |A₃|＞0，
而|A₄|＜0，故|A|与|A₄|同号，由命题2．6．4．4(2)知，A与A₄合同，仅(D)入选．
解四  用合同变换判别之．因

由命题2．6．4．3知，A与A₄合同，且有P^TAP=A₄，其中

事实上，有

注：命题2．6．4．2 设A，B为实对称矩阵，若A，B相似，则A，B合同，反之未必成立．若A，B是一般n阶矩阵(不一定是实对称)，则下述结论成立．
命题2．6．4．3 A与B合同的充要条件是A经过有限次相同的初等行变换和初等列变换得到B．

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考研数学三

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