二元函数z=f(x，y)=x2+y2+2x+y在区域D={(x，y)｜x2+y2≤1)内的最大值为，最小值为．

admin2022-07-21 72

问题二元函数z=f(x，y)=x²+y²+2x+y在区域D={(x，y)｜x²+y²≤1)内的最大值为________，最小值为________．

选项

答案[*]

解析首先在区域D内求驻点，令

，x=-1，y=-1/2．
因为(-1)²+(-1/2)²＞1，故点(-1，-1/2)不在区域D内，故无内部驻点．且在区域内部不存在偏导数不存在的点．
求函数在区域D的边界上x²+y²=1的最大、最小值，即求函数f(x，y)在约束条件x²+y²=1下的最值，构造拉格朗日函数
L(x，y，λ)=x²+y²+2x+y+λ(x²+y²-1)
解得

所以函数f(x，y)在区域D上的最大、最小值分别为

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