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二元函数z=f(x,y)=x2+y2+2x+y在区域D={(x,y)|x2+y2≤1)内的最大值为________,最小值为________.
二元函数z=f(x,y)=x2+y2+2x+y在区域D={(x,y)|x2+y2≤1)内的最大值为________,最小值为________.
admin
2022-07-21
84
问题
二元函数z=f(x,y)=x
2
+y
2
+2x+y在区域D={(x,y)|x
2
+y
2
≤1)内的最大值为________,最小值为________.
选项
答案
[*]
解析
首先在区域D内求驻点,令
,x=-1,y=-1/2.
因为(-1)
2
+(-1/2)
2
>1,故点(-1,-1/2)不在区域D内,故无内部驻点.且在区域内部不存在偏导数不存在的点.
求函数在区域D的边界上x
2
+y
2
=1的最大、最小值,即求函数f(x,y)在约束条件x
2
+y
2
=1下的最值,构造拉格朗日函数
L(x,y,λ)=x
2
+y
2
+2x+y+λ(x
2
+y
2
-1)
解得
所以函数f(x,y)在区域D上的最大、最小值分别为
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考研数学二
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