设A为n阶实对称矩阵，且A2=A，R(A)=r，则A的全部特征值为_，行列式｜2E—3A｜=_。

admin2019-03-23 61

问题设A为n阶实对称矩阵，且A²=A，R(A)=r，则A的全部特征值为_______，行列式｜2E—3A｜=_______。

选项

答案λ₁=λ₂= … =λ_r=1，λ_r+1=λ_r+2= … =λ_n=0；(—1)^r2^n—r

解析设λ是矩阵A的任意一个特征值，α是属于λ的特征向量，即Aα=λα。
在等式A²=A两边右乘α，得A²α=Aα，也就是λ²α=λα，即(λ²—λ)α=0。因α≠0，故有λ²—λ=0，可得A的特征值λ=0或1。
又已知A为实对称矩阵，则必可相似对角化，而A的秩R(A)=r，因此A的特征值为
λ₁=λ₂= … =λ_r=1，λ_r+1=λ_r+2= … =λ_n=0，
进而可知矩阵2E—3A的特征值为
μ₁= … =μ_r=2—3×1= —1，μ_r+1= … =μ_n=2—3×0=2，
故｜2E—3A｜=(—1)^r2^n—r。

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考研数学二

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