2. 考研
  3. 设A为n阶实对称矩阵，且A2=A，R(A)=r，则A的全部特征值为_______，行列式｜2E—3A｜=_______。

设A为n阶实对称矩阵，且A2=A，R(A)=r，则A的全部特征值为_______，行列式｜2E—3A｜=_______。

admin2019-03-23  77
问题 设A为n阶实对称矩阵，且A2=A，R(A)=r，则A的全部特征值为_______，行列式｜2E—3A｜=_______。
选项
答案λ1=λ2= … =λr=1，λr+1=λr+2= … =λn=0；(—1)r2n—r
解析 设λ是矩阵A的任意一个特征值，α是属于λ的特征向量，即Aα=λα。
在等式A2=A两边右乘α，得A2α=Aα，也就是λ2α=λα，即(λ2—λ)α=0。因α≠0，故有λ2—λ=0，可得A的特征值λ=0或1。
又已知A为实对称矩阵，则必可相似对角化，而A的秩R(A)=r，因此A的特征值为
λ1=λ2= … =λr=1，λr+1=λr+2= … =λn=0，
进而可知矩阵2E—3A的特征值为
μ1= … =μr=2—3×1= —1，μr+1= … =μn=2—3×0=2，
故    ｜2E—3A｜=(—1)r2n—r。
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考研数学二

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