设A为n阶实对称矩阵,且A2=A,R(A)=r,则A的全部特征值为_______,行列式|2E—3A|=_______。

admin2019-03-23  31

问题 设A为n阶实对称矩阵,且A2=A,R(A)=r,则A的全部特征值为_______,行列式|2E—3A|=_______。

选项

答案λ12= … =λr=1,λr+1r+2= … =λn=0;(—1)r2n—r

解析 设λ是矩阵A的任意一个特征值,α是属于λ的特征向量,即Aα=λα。
在等式A2=A两边右乘α,得A2α=Aα,也就是λ2α=λα,即(λ2—λ)α=0。因α≠0,故有λ2—λ=0,可得A的特征值λ=0或1。
又已知A为实对称矩阵,则必可相似对角化,而A的秩R(A)=r,因此A的特征值为
λ12= … =λr=1,λr+1r+2= … =λn=0,
进而可知矩阵2E—3A的特征值为
μ1= … =μr=2—3×1= —1,μr+1= … =μn=2—3×0=2,
故    |2E—3A|=(—1)r2n—r
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