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已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且则( ).
已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且则( ).
admin
2020-05-02
58
问题
已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且
则( ).
选项
A、点(0,0)不是f(x,y)的极值点
B、点(0,0)是f(x,y)的极大值点
C、点(0,0)是f(x,y)的极小值点
D、根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点
答案
A
解析
方法一 取f(x,y)=xy+(x
2
+y
2
)
2
,容易验证f(x,y)满足题设条件.又
所以
根据二元函数极值的充分条件可知函数f(x,y)在点(0,0)处取不到极值.
方法二 由
可得
注意到f(x,y)在点(0,0)处连续,从而f(0,0)=0.又由已知
即 f(x,y)=xy+(x
2
+y
2
)
2
+α·(x
2
+y
2
)
2
由此可见,当y=x且|x|充分小时,f(x,y)-f(0,0)≈x
2
+4x
4
>0;而当y=-x且|x|充分小时,f(x,y)-f(0,0)≈-x
2
+4x
4
<0,故点(0,0)不是f(x,y)的极值点.
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考研数学一
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