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  3. 已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且则( )．

已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且则( )．

admin2020-05-02  19
问题 已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且则(    )．
选项 A、点(0，0)不是f(x，y)的极值点
B、点(0，0)是f(x，y)的极大值点
C、点(0，0)是f(x，y)的极小值点
D、根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点
答案A
解析 方法一  取f(x，y)=xy+(x2+y2)2，容易验证f(x，y)满足题设条件．又
           
所以根据二元函数极值的充分条件可知函数f(x，y)在点(0，0)处取不到极值．
    方法二  由可得注意到f(x，y)在点(0，0)处连续，从而f(0，0)=0．又由已知
        
即    f(x，y)=xy+(x2+y2)2+α·(x2+y2)2
    由此可见，当y=x且|x|充分小时，f(x，y)－f(0，0)≈x2+4x4＞0；而当y=－x且|x|充分小时，f(x，y)－f(0，0)≈－x2+4x4＜0，故点(0，0)不是f(x，y)的极值点．
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考研数学一

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