2. 考研
  3. 设函数f(x)有连续导数，F(x)=∫0xf(t)f’(2a-t)dt，证明： F(2a)一2F(a)=f2(a)一f(0)f(2a)．

设函数f(x)有连续导数，F(x)=∫0xf(t)f’(2a-t)dt，证明： F(2a)一2F(a)=f2(a)一f(0)f(2a)．

admin2015-08-14  59
问题 设函数f(x)有连续导数，F(x)=∫0xf(t)f’(2a-t)dt，证明：    F(2a)一2F(a)=f2(a)一f(0)f(2a)．
选项
答案F(2a)一2F(a)=∫02af(t)f’(2a—t)dt一2∫0af(t)f’(2a一t)dt =∫a2af(t)f’(2a-t)dt一∫0af(t)f’(2a-t)dt， 其中∫a2af(t)f’(2a—t)dt=f2(a)一f(0)f(2a)+∫a2af(2a—t)f’(t)dt，所以 原式=f2(a)一f(0)f(2a)+∫a2af(2a一t)f’(t)dt一∫0af(t)f’(2a-t)dt，又∫a2af(2a—t)f’(t)dt[*]∫0af(u)f’(2a-u)du=∫0af(t)f’(2a-t)dt，所以， F(2a)一2F(a)=f2(a)一f(0)f(2a)．
解析
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考研数学二

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