设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )

admin2021-01-25 33

问题设向量组α₁，α₂，α₃线性无关，则下列向量组线性相关的是( )

选项 A、α₁-α₂，α₂-α₃，α₃-α₁。
B、α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α₁。
C、α₁-2α₂，α₂-2α₃，α₃-2α₁。
D、α₁+2α₂，α₂+2α₃，α₃+2α₁。

答案A

解析方法一：根据线性相关的定义，若存在不全为零的数k₁，k₂，k₃，使得k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0成立，则称α₁，α₂，α₃线性相关。因
(α₁-α₂)+(α₂-α₃)+(α₃-α₁)=0，
故α₁-α₂，α₂-α₃，α₃-α₁线性相关，所以选择A。
方法二：因为
(α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α₁)=(α₁，α₂，α₃)

=(α₁，α₂，α₃)C₂，且｜C₂｜=

=2≠0。故C₂是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积，C₂右乘(α₁，α₂，α₃)时，等价于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有r(α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α₁)=r(α₁，α₂，α₃)=3。所以，α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α₁线性无关，排除B。
同理α₁-2α₂，α₂-2α₃，α₃-2α₁和α₁+2α₂，α₂+2α₃，α₃+2α₁都线性无关，排除C、D。综上知应选A。

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