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设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )
设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )
admin
2021-01-25
121
问题
设向量组α
1
，α
2
，α
3
线性无关，则下列向量组线性相关的是( )
选项
A、α
1
-α
2
，α
2
-α
3
，α
3
-α
1
。
B、α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，α
3
+α
1
。
C、α
1
-2α
2
，α
2
-2α
3
，α
3
-2α
1
。
D、α
1
+2α
2
，α
2
+2α
3
，α
3
+2α
1
。
答案
A
解析
方法一：根据线性相关的定义，若存在不全为零的数k
1
，k
2
，k
3
，使得k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0成立，则称α
1
，α
2
，α
3
线性相关。因
(α
1
-α
2
)+(α
2
-α
3
)+(α
3
-α
1
)=0，
故α
1
-α
2
，α
2
-α
3
，α
3
-α
1
线性相关，所以选择A。
方法二：因为
(α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，α
3
+α
1
)=(α
1
，α
2
，α
3
)
=(α
1
，α
2
，α
3
)C
2
，且｜C
2
｜=
=2≠0。故C
2
是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积，C
2
右乘(α
1
，α
2
，α
3
)时，等价于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有r(α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，α
3
+α
1
)=r(α
1
，α
2
，α
3
)=3。所以，α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，α
3
+α
1
线性无关，排除B。
同理α
1
-2α
2
，α
2
-2α
3
，α
3
-2α
1
和α
1
+2α
2
，α
2
+2α
3
，α
3
+2α
1
都线性无关，排除C、D。综上知应选A。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4Nx4777K
0
考研数学三
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