设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是( )

admin2021-01-25  52

问题 设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是(    )

选项 A、α12,α23,α31
B、α12,α23,α31
C、α1-2α2,α2-2α3,α3-2α1
D、α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1

答案A

解析 方法一:根据线性相关的定义,若存在不全为零的数k1,k2,k3,使得k1α1+k2α2+k3α3=0成立,则称α1,α2,α3线性相关。因
    (α12)+(α23)+(α31)=0,
故α12,α23,α31线性相关,所以选择A。
    方法二:因为
    (α12,α23,α31)=(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)C2,且|C2|==2≠0。故C2是可逆矩阵,由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积,C2右乘(α1,α2,α3)时,等价于作若干次初等变换,初等变换不改变矩阵的秩,故有r(α12,α23,α31)=r(α1,α2,α3)=3。所以,α12,α23,α31线性无关,排除B。
    同理α1-2α2,α2-2α3,α3-2α1和α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1都线性无关,排除C、D。综上知应选A。
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