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设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是( )
设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是( )
admin
2021-01-25
52
问题
设向量组α
1
,α
2
,α
3
线性无关,则下列向量组线性相关的是( )
选项
A、α
1
-α
2
,α
2
-α
3
,α
3
-α
1
。
B、α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,α
3
+α
1
。
C、α
1
-2α
2
,α
2
-2α
3
,α
3
-2α
1
。
D、α
1
+2α
2
,α
2
+2α
3
,α
3
+2α
1
。
答案
A
解析
方法一:根据线性相关的定义,若存在不全为零的数k
1
,k
2
,k
3
,使得k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0成立,则称α
1
,α
2
,α
3
线性相关。因
(α
1
-α
2
)+(α
2
-α
3
)+(α
3
-α
1
)=0,
故α
1
-α
2
,α
2
-α
3
,α
3
-α
1
线性相关,所以选择A。
方法二:因为
(α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,α
3
+α
1
)=(α
1
,α
2
,α
3
)
=(α
1
,α
2
,α
3
)C
2
,且|C
2
|=
=2≠0。故C
2
是可逆矩阵,由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积,C
2
右乘(α
1
,α
2
,α
3
)时,等价于作若干次初等变换,初等变换不改变矩阵的秩,故有r(α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,α
3
+α
1
)=r(α
1
,α
2
,α
3
)=3。所以,α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,α
3
+α
1
线性无关,排除B。
同理α
1
-2α
2
,α
2
-2α
3
,α
3
-2α
1
和α
1
+2α
2
,α
2
+2α
3
,α
3
+2α
1
都线性无关,排除C、D。综上知应选A。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4Nx4777K
0
考研数学三
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