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设A是n阶反对称矩阵。 证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵。
设A是n阶反对称矩阵。 证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵。
admin
2019-03-23
63
问题
设A是n阶反对称矩阵。
证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A
*
是对称矩阵。
选项
答案
根据反对称矩阵的定义：A
T
= —A，则 ｜A｜=｜A
T
｜=｜—A｜=(—1)
n
｜A｜， 即[1—(—1)
n
]｜A｜=0。 若n=2k+1，必有｜A｜=0，此时A不可逆。所以A可逆的必要条件是n为偶数。 因为A
T
= —A，则由(A
*
)
T
=(A
T
)
*
有 (A
*
)
T
=(A
T
)
*
=(—A)
*
。 又因(lA)
*
=l
n—1
A
*
，故当n=2k+1时，有 (A
*
)
T
=(—1)
2k
A
*
=A
*
， 即A
*
是对称矩阵。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4TV4777K
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考研数学二
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