设A是n阶反对称矩阵。证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵。

admin2019-03-23 45

问题设A是n阶反对称矩阵。
证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A^*是对称矩阵。

选项

答案根据反对称矩阵的定义：A^T= —A，则｜A｜=｜A^T｜=｜—A｜=(—1)ⁿ｜A｜，即[1—(—1)ⁿ]｜A｜=0。若n=2k+1，必有｜A｜=0，此时A不可逆。所以A可逆的必要条件是n为偶数。因为A^T= —A，则由(A^*)^T=(A^T)^*有 (A^*)^T=(A^T)^*=(—A)^*。又因(lA)^*=l^n—1A^*，故当n=2k+1时，有 (A^*)^T=(—1)^2kA^*=A^*，即A^*是对称矩阵。

解析

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