矩阵相似的充分必要条件为( )

admin2018-07-26  32

问题 矩阵相似的充分必要条件为(    )

选项 A、a=0,b=2.
B、a=0,b为任意常数.
C、a=2,b=0.
D、a=2,b为任意常数.

答案B

解析 B为对角矩阵,B的特征值为其主对角线元素2,b,0.若A与B相似,则由相似矩阵有相同的特征值,知2为A的一个特征值,从而有
0=|2I-A|

=-4a2
由此得a=0.当a=0时,矩阵A的特征多项式为

由此得A的全部特征值为2,b,0.以下可分两种情形:
情形1:若b为任意实数,则A为实对称矩阵,由于实对称矩阵必相似于对角矩阵,且对角矩阵的主对角线元素为该实对称矩阵的全部特征值,所以此时A必相似于B.综上可知,A与B相似的充分必要条件为a=0,b为任意常数.所以只有选项B正确.
情形2:若b是任意复数而不是实数,则3阶矩阵A有3个互不相同的特征值,因此A必相似于对角矩阵B.只有选项B正确.
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