2. 考研
  3. 设矩阵 求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

设矩阵 求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

admin2019-12-26  16
问题 设矩阵
      
求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．
选项
答案【解法1】 由于|A|=7≠0，所以矩阵A的任一特征值λ≠0．设η是A的属于λ的一个特征向量，即Aη=λη，故η是A－1的属于[*]的特征向量．又A*=|A|A－1，故η是A*的属于[*]的特征向量．由B=P－1A*P，有PBP－1=A*从而 [*] 即[*]所以P－1η是B的属于特征值[*]的特征向量． 由 [*] 知A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=7．通过计算可知，A的属于特征值λ1=λ2=1的线性无关的特征向量可取为 [*] 属于λ3=7的一个特征向量可取为 [*] 又 [*] 于是B的属于特征值[*]的特征向量可取为 [*] 矩阵B的属于特征值[*]的特征向量可取为 [*] 故矩阵B+2E的特征值为3，9，9．属于特征值9的特征向量为 [*] 其中k1，k2是不全为零的常数；属于特征值3的特征向量为 [*] 其中k3为不等于零的常数． 【解法2】 由条件得 [*] 由|λE－(B+2E)|=(λ－9)2(λ－3)，知B+2E的特征值为3，9，9． 属于特征值9的特征向量为 [*] 其中k1，k2是不全为零的常数； 属于特征值3的特征向量为 [*] 其中k3为不等于零的常数．
解析
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考研数学三

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