n阶矩阵A满足A2-2A-3E=O，证明A能相似对角化．

admin2016-09-12 61

问题 n阶矩阵A满足A²-2A-3E=O，证明A能相似对角化．

选项

答案由A²-2A-3E=0得(E+A)(3E-A)=0，则 r(E+A)+r(3E-A)≤n；由r(E+A)+r(3E-A)≥r(4E)=n得r(E+A)+r(3E-A)=n． (1)当r(E+A)=n时，A=3E为对角阵； (2)当r(3E-A)=n时，为对角矩阵； (3)r(E+A)＜n，r(3E-A)＜n，则｜E+A｜=0，｜3E-A｜=0， A的特征值λ₁=-1，λ₂=3． λ₁=-1对应的线性无关的特征向量个数为n-r(-E-A)=n-r(E+A)； λ₂=3对应的线性无关的特征向量个数为n-r(3E-A)．因为n-r(E+A)+n-r(3E-A)=n，所以A可相似对角化．

解析

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