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  3. 试证明n维列向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是行列式 其中αTi表示列向量αi的转置，i=1，2，…，n．

试证明n维列向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是行列式 其中αTi表示列向量αi的转置，i=1，2，…，n．

admin2019-05-11  51
问题 试证明n维列向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是行列式
   
其中αTi表示列向量αi的转置，i=1，2，…，n．
选项
答案证 记n阶矩阵A[α1与α2…αn]，则α1与α2…αn线性无关的充分必要条件是∣A∣≠0． 另一方面，由 [*]有∣ATA∣=∣A∣∣AT∣=∣A∣2=D．从而，∣A∣≠0与D≠0等价．由此可见，α1与α2…αn线性无关的充分必要条件是D≠0．
解析 本题主要考查满秩方阵性质的应用及矩阵乘法的概念．注意，矩阵乘法的本质是“在行乘右列”，由此可知矩阵(αiTαj)m×n的第i行[αTiα1αTiα2…αTiαn]可以写成αTi[α1 α2… αn]，因此可将矩阵 (αTij)m×n写成ATA的形式，从而建立起行列式D与∣A∣的关系，这是本题证明之关键．
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考研数学三

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