设A是n阶矩阵，满足(A-aE)(A-bE)=0，其中数a≠b．证明： r(A-aE)+r(A-bE)=n．

admin2018-06-27 41

问题设A是n阶矩阵，满足(A-aE)(A-bE)=0，其中数a≠b．证明：
r(A-aE)+r(A-bE)=n．

选项

答案一方面，根据矩阵秩的性质⑦，由(A-aE)(A-bE)=0得到r(A-aE)+r(A-bE)≤n．另一方面，用矩阵的秩的性质③，有r(a-aE)+r(a-bE)≥r((A-aE)-(A-bE))=r((b-a)E)=n．两个不等式结合，推出r(A-aE)+r(A-bE)=n．

解析

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