2. 考研
  3. 设f(χ)在[0，1]上二阶可导，且｜f(χ)｜≤a，｜f〞(χ)｜≤b，其中a，b都是非负常数，c为(0，1)内任意一点． (1)写出f(χ)在χ＝c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式； (2)证明：｜f′(c)｜≤2a＋．

设f(χ)在[0，1]上二阶可导，且｜f(χ)｜≤a，｜f〞(χ)｜≤b，其中a，b都是非负常数，c为(0，1)内任意一点． (1)写出f(χ)在χ＝c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式； (2)证明：｜f′(c)｜≤2a＋．

admin2020-03-16  51
问题 设f(χ)在[0，1]上二阶可导，且｜f(χ)｜≤a，｜f〞(χ)｜≤b，其中a，b都是非负常数，c为(0，1)内任意一点．
    (1)写出f(χ)在χ＝c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；
    (2)证明：｜f′(c)｜≤2a＋．
选项
答案(1)f(χ)＝f(c)＋f′(c)(χ－c)＋[*](χ－c)2，其中ξ介于c与χ之间． (2)分别令χ＝0，χ＝1，得 f(0)＝f(c)－f′(c)c＋[*]c2(0，c) f(1)＝f(c)＋f′(c)(1－c)＋[*](1－c)2，ξ2∈(c，1)， 两式相减，得f′(c)＝f(1)－f(0)＋[*](1－c)2，利用已知条件，得 ｜f′(c)｜≤2a＋[*][c2＋(1－c)2]， 因为c2＋(1－c)2≤1，所以｜f′(c)｜≤2a＋[*]．
解析
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考研数学二

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