设f(χ)在[0,1]上二阶可导,且|f(χ)|≤a,|f〞(χ)|≤b,其中a,b都是非负常数,c为(0,1)内任意一点. (1)写出f(χ)在χ=c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式; (2)证明:|f′(c)|≤2a+.

admin2020-03-16  39

问题 设f(χ)在[0,1]上二阶可导,且|f(χ)|≤a,|f〞(χ)|≤b,其中a,b都是非负常数,c为(0,1)内任意一点.
    (1)写出f(χ)在χ=c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式;
    (2)证明:|f′(c)|≤2a+

选项

答案(1)f(χ)=f(c)+f′(c)(χ-c)+[*](χ-c)2,其中ξ介于c与χ之间. (2)分别令χ=0,χ=1,得 f(0)=f(c)-f′(c)c+[*]c2(0,c) f(1)=f(c)+f′(c)(1-c)+[*](1-c)2,ξ2∈(c,1), 两式相减,得f′(c)=f(1)-f(0)+[*](1-c)2,利用已知条件,得 |f′(c)|≤2a+[*][c2+(1-c)2], 因为c2+(1-c)2≤1,所以|f′(c)|≤2a+[*].

解析
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