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设f(χ)在[0,1]上二阶可导,且|f(χ)|≤a,|f〞(χ)|≤b,其中a,b都是非负常数,c为(0,1)内任意一点. (1)写出f(χ)在χ=c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式; (2)证明:|f′(c)|≤2a+.
设f(χ)在[0,1]上二阶可导,且|f(χ)|≤a,|f〞(χ)|≤b,其中a,b都是非负常数,c为(0,1)内任意一点. (1)写出f(χ)在χ=c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式; (2)证明:|f′(c)|≤2a+.
admin
2020-03-16
39
问题
设f(χ)在[0,1]上二阶可导,且|f(χ)|≤a,|f〞(χ)|≤b,其中a,b都是非负常数,c为(0,1)内任意一点.
(1)写出f(χ)在χ=c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式;
(2)证明:|f′(c)|≤2a+
.
选项
答案
(1)f(χ)=f(c)+f′(c)(χ-c)+[*](χ-c)
2
,其中ξ介于c与χ之间. (2)分别令χ=0,χ=1,得 f(0)=f(c)-f′(c)c+[*]c
2
(0,c) f(1)=f(c)+f′(c)(1-c)+[*](1-c)
2
,ξ
2
∈(c,1), 两式相减,得f′(c)=f(1)-f(0)+[*](1-c)
2
,利用已知条件,得 |f′(c)|≤2a+[*][c
2
+(1-c)
2
], 因为c
2
+(1-c)
2
≤1,所以|f′(c)|≤2a+[*].
解析
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考研数学二
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