[2004年] 微分方程y＂+y=x2+1+sinx的特解形式可设为( )．

admin2019-05-10 52

问题 [2004年] 微分方程y＂+y=x²+1+sinx的特解形式可设为( )．

选项 A、y^*=ax²+bx+c+x(A sinx+B cosx)
B、y^*=x(ax²+bx+c+A sinx+B cosx)
C、y^*=ax²+bx+c+A sinx
D、y^*=ax²+bx+c+A cosx

答案A

解析对于右端的自由项(非齐次项)x²+1+sinx直接利用特解形式无法下手，需将其拆成x²+1与sinx，然后利用叠加原理求解．
对应齐次方程y＂+y=0的特征方程为λ²+1=0，特征根为λ=±i．对于y＂+y=x²+1=e^0x(x²+1)而言，因0不是其特征根，从而将其特解形式可设为y₁^*=ax²+bx+c．
对y＂+y=sinx=e^0x(0·cosx+1·sinx)(α=0，β=1)，因λ+iω=0+i·1=i为特征根，从而其特解形式可设为y₂^*=x(A sinx+Bcosx)，从而命题1．6．2．4知y＂+y=x²+l+sinx的特解形式为y^*=ax²+bx+c+x(A sinx+B cosx)．仅(A)入选．

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考研数学二

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