2. 考研
  3. 如图1－3－2，曲线C的方程为y＝f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)．设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分∫03 (x2 ＋x)f’’’(x)dx．

如图1－3－2，曲线C的方程为y＝f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)．设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分∫03 (x2 ＋x)f’’’(x)dx．

admin2021-01-19  33
问题 如图1－3－2，曲线C的方程为y＝f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)．设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分∫03 (x2 ＋x)f’’’(x)dx．
选项
答案由题设图形知，f(0)＝0，f’(0)＝2，f(3)＝2，f’(3)＝－2，f"(3)0． 由分部积分公式，知 ∫03(x2＋x)f’’’(x)＝∫ 03(x2＋x)df"(x) ＝(x＋x)f"(x)｜03－∫03(x)(2x＋1)dx ＝－∫03(2x＋1)df’(x) ＝－(2x＋1)f(x)｜03＋2∫03f’(x)dx ＝16＋2[f(3)－f(0)]＝20．
解析 [分析]  题设图形相当于已知f(x)在x＝0的函数值与导数值，在x＝3处的函数值及一阶、二阶导数值．
    [评注]  本题f(x)在两个端点的函数值及导数值通过几何图形给出，题型比较新颖，综合考查了导数的儿何意义和定积分的汁算．另外，值得注意的是，当被积函数含有抽象函数的导数时，一般优先考虑用分部积分法．
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考研数学二

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