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如图1-3-2,曲线C的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分∫03 (x2 +x)f’’’(x)dx.
如图1-3-2,曲线C的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分∫03 (x2 +x)f’’’(x)dx.
admin
2021-01-19
44
问题
如图1-3-2,曲线C的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l
1
与l
2
分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分∫
0
3
(x
2
+x)f’’’(x)dx.
选项
答案
由题设图形知,f(0)=0,f’(0)=2,f(3)=2,f’(3)=-2,f"(3)0. 由分部积分公式,知 ∫
0
3
(x
2
+x)f’’’(x)=∫
0
3
(x
2
+x)df"(x) =(x+x)f"(x)|
0
3
-∫
0
3
(x)(2x+1)dx =-∫
0
3
(2x+1)df’(x) =-(2x+1)f(x)|
0
3
+2∫
0
3
f’(x)dx =16+2[f(3)-f(0)]=20.
解析
[分析] 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值,在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.
[评注] 本题f(x)在两个端点的函数值及导数值通过几何图形给出,题型比较新颖,综合考查了导数的儿何意义和定积分的汁算.另外,值得注意的是,当被积函数含有抽象函数的导数时,一般优先考虑用分部积分法.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4t84777K
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考研数学二
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