设向量组(I)：b1，…，br能由向量组(Ⅱ)：a1，…，as线性表示为(b1，…，br)=(1，…，as)K，其中K为s×r矩阵，且向量组(Ⅱ)线性无关。证明向量组(Ⅱ)线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r。

admin2019-06-28 79

问题设向量组(I)：b₁，…，b_r能由向量组(Ⅱ)：a₁，…，a_s线性表示为(b₁，…，b_r)=(₁，…，a_s)K，其中K为s×r矩阵，且向量组(Ⅱ)线性无关。证明向量组(Ⅱ)线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r。

选项

答案必要性：令B=(b₁，…，b_R)，A=(a₁，…，a_S)，则有B=AK，由定理 r(B)=r(AK)≤min{r(A)，r(K)}，结合向量组(I)：b₁，b₂，…，b_r，线性无关知r(B)=r，故r(K)≥r。又因为K为r×s阶矩阵，则有r(K)≤min{r，s}≤r。综上所述 r≤r(K)≤r，即r(K)=r。充分性：已知r(K)=r，向量组(Ⅱ)线性无关，r(A)=s，因此A的行最简矩阵为[*]，存在可逆矩阵P使 [*] 于是有 [*] 由矩阵秩的性质 [*] 即r(B)=r(K)=r，因此向量组(I)线性无关。

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/1ZV4777K

考研数学二

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设向量组(I)：b1，…，br能由向量组(Ⅱ)：a1，…，as线性表示为(b1，…，br)=(1，…，as)K，其中K为s×r矩阵，且向量组(Ⅱ)线性无关。证明向量组(Ⅱ)线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r。

考研数学二

设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且[g(x)一φ(x)]=0，则f(x)()

设线性方程组(1)Ax=0的一个基础解系为α1=(1，1，1，0，2)T，α2=(1，1，0，1，1)T，α3=(1，0，1，1，2)T。线性方程组(2)Bx=0的一个基础解系为β1=(1，1，一1，一1，1)T，β2=(1，一1，1，一1，2)T，β3=

设。已知线性方程组Ax=b存在两个不同的解。求λ，a；

已知r(a1，a2，a3)=2，r(a2，a3，a4)=3，证明：a1能由a2，a3线性表示；

确定常数a，使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(一2，a，4)T，β3=(一2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示。

设函数f(x)=且1+bx＞0，则当f(x)在x=0处可导时，f’(0)_________

曲线ρθ=1相应于的一段弧长s=________。

设星形线方程为(a＞0)．试求：1)它所围的面积___；2)它的周长＝_；3)它围成的区域绕χ轴旋转而成的旋转体的体积＝和表面积＝．

设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三个三维线性无关的列向量，且满足Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．判断矩阵A可否对角化．

设y′＝arctan(χ－1)2，y(0)＝0，求∫01y(χ)dχ．

国家实行基本农田保护制度。应当根据土地利用总体规划划入基本农田保护区，进行严格管理的土地包括()。

下列关于醌类化合物颜色反应叙述正确的是

先天性瞳孔残膜的特点有

早期确诊胃十二指肠溃疡急性穿孔，下列哪项必须存在：

一患者受凉后咳嗽、高热、咳铁锈色痰，胸痛，随呼吸运动而加重，屏住呼吸时减轻。此患者在听诊时最易出现的体征为下列哪一项

资信证明提供的服务包括()。

在VisualFoxPro中，以下描述中错误的是

有3个关系R、S和T如下图所示。关系R和S通过运算得到关系T，则所使用的运算为()。

某二叉树共有399个结点，其中有199个度为2的结点，则该二叉树中的叶子结点数为

设向量组(I)：b1，…，br能由向量组(Ⅱ)：a1，…，as线性表示为(b1，…，br)=(1，…，as)K，其中K为s×r矩阵，且向量组(Ⅱ)线性无关。证明向量组(Ⅱ)线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r。

考研数学二

设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且[g(x)一φ(x)]=0，则f(x)()

设线性方程组(1)Ax=0的一个基础解系为α1=(1，1，1，0，2)T，α2=(1，1，0，1，1)T，α3=(1，0，1，1，2)T。线性方程组(2)Bx=0的一个基础解系为β1=(1，1，一1，一1，1)T，β2=(1，一1，1，一1，2)T，β3=

设。已知线性方程组Ax=b存在两个不同的解。求λ，a；

已知r(a1，a2，a3)=2，r(a2，a3，a4)=3，证明：a1能由a2，a3线性表示；

确定常数a，使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(一2，a，4)T，β3=(一2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示。

设函数f(x)=且1+bx＞0，则当f(x)在x=0处可导时，f’(0)_________

曲线ρθ=1相应于的一段弧长s=________。

设星形线方程为(a＞0)．试求：1)它所围的面积_______；2)它的周长＝_______；3)它围成的区域绕χ轴旋转而成的旋转体的体积＝________和表面积＝______．

设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三个三维线性无关的列向量，且满足Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．判断矩阵A可否对角化．

设y′＝arctan(χ－1)2，y(0)＝0，求∫01y(χ)dχ．

国家实行基本农田保护制度。应当根据土地利用总体规划划入基本农田保护区，进行严格管理的土地包括()。

下列关于醌类化合物颜色反应叙述正确的是

先天性瞳孔残膜的特点有

早期确诊胃十二指肠溃疡急性穿孔，下列哪项必须存在：

一患者受凉后咳嗽、高热、咳铁锈色痰，胸痛，随呼吸运动而加重，屏住呼吸时减轻。此患者在听诊时最易出现的体征为下列哪一项

资信证明提供的服务包括()。

在VisualFoxPro中，以下描述中错误的是

有3个关系R、S和T如下图所示。关系R和S通过运算得到关系T，则所使用的运算为()。

某二叉树共有399个结点，其中有199个度为2的结点，则该二叉树中的叶子结点数为

设星形线方程为(a＞0)．试求：1)它所围的面积___；2)它的周长＝_；3)它围成的区域绕χ轴旋转而成的旋转体的体积＝和表面积＝．