设向量组(I)：b1，…，br能由向量组(Ⅱ)：a1，…，as线性表示为(b1，…，br)=(1，…，as)K，其中K为s×r矩阵，且向量组(Ⅱ)线性无关。证明向量组(Ⅱ)线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r。

admin2019-06-28 68

问题设向量组(I)：b₁，…，b_r能由向量组(Ⅱ)：a₁，…，a_s线性表示为(b₁，…，b_r)=(₁，…，a_s)K，其中K为s×r矩阵，且向量组(Ⅱ)线性无关。证明向量组(Ⅱ)线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r。

选项

答案必要性：令B=(b₁，…，b_R)，A=(a₁，…，a_S)，则有B=AK，由定理 r(B)=r(AK)≤min{r(A)，r(K)}，结合向量组(I)：b₁，b₂，…，b_r，线性无关知r(B)=r，故r(K)≥r。又因为K为r×s阶矩阵，则有r(K)≤min{r，s}≤r。综上所述 r≤r(K)≤r，即r(K)=r。充分性：已知r(K)=r，向量组(Ⅱ)线性无关，r(A)=s，因此A的行最简矩阵为[*]，存在可逆矩阵P使 [*] 于是有 [*] 由矩阵秩的性质 [*] 即r(B)=r(K)=r，因此向量组(I)线性无关。

解析

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考研数学二

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设向量组(I)：b1，…，br能由向量组(Ⅱ)：a1，…，as线性表示为(b1，…，br)=(1，…，as)K，其中K为s×r矩阵，且向量组(Ⅱ)线性无关。证明向量组(Ⅱ)线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r。

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