设A=，问当k取何值时，存在可逆矩阵P，使得P一1AP成为对角矩阵？并求出P和相应的对角矩阵．

admin2017-04-23 80

问题设A=

，问当k取何值时，存在可逆矩阵P，使得P^一1AP成为对角矩阵？并求出P和相应的对角矩阵．

选项

答案由|λE 一A|=[*]=(λ+1)²(λ一1)=0，得A的全部特征值为λ₁一λ₂=一1，λ₃=1．故A可对角化[*]A的属于2重特征值λ₁=λ₂=一1的线性无关特征向量有2个[*]方程组(一E一A)x=0的基础解系含2个向量[*]3一r(一E一A)=[*]k=0．当k=0时，可求出A的对应于特征值一1，一1；1的线性无关特征向量分别可取为α₁=(一1，2，0)^T，α₂=(1，0，2)^T，α₃=(1，0，1)^T，故令P=[α₁，α₂，α₃]=[*]，则有P^一1AP=diag(一1，一1，1)．

解析

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