设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)dx=∫0πf(x)cosxdx=0。试证明在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0。

admin2018-12-29 57

问题设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫₀^πf(x)dx=∫₀^πf(x)cosxdx=0。试证明在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ₁，ξ₂，使f(ξ₁)=f(ξ₂)=0。

选项

答案令F(x)=∫₀^xf(t)dt，0≤x≤π，则有F(0)=0，F(π)=0又因为 0=∫₀^πf(x)cosxdx=∫₀^πcosxdF(x)=∫₀^πF(x)sinxdx，所以存在ξ∈(0，π)，使F(ξ)sinξ=0，不然，则在(0，π)内F(x)sinx恒为正或恒为负，与∫₀^πF(x)sinxdx=0矛盾，但当ξ∈(0，π)时sinξ≠0，故F(ξ)=0。再对F(x)在区间[0，ξ]，[ξ，π]上分别用罗尔定理知，至少存在ξ₁∈(0，ξ)，ξ₂∈(ξ，π)，使得f′(ξ₁)=f′(ξ₂)=0，即f(ξ₁)=f(ξ₂)=0。

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4xM4777K

考研数学一

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)dx=∫0πf(x)cosxdx=0。试证明在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0。

考研数学一

求解微分方程xy’’+y’=4x．

计算二重积分其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}．

设总体X的密度函数为其中θ＞0为未知参数，x1，X2，…，Xn为来自X的样本，比较这两个估计量，哪一个更有效?

假设5只晶体管中有两只次品，现在一只一只地检验直到查出两只次品为止．试求：查出两只次品晶体管所需检查的次数Y的概率分布．

设连续型随机变量X1与X2相互独立且方差均存在，X1与X2的概率密度分别为f1(x)与f2(x)，随机变量Y1的概率密度为随机变量Y2=(X1+X2)，则()．

设线性方程组与方程x1+2x2+x3=a－1②有公共解，求a的值及所有公共解．

已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换x=Qy化为标准形f=3y12－6y22－6yy32，其中矩阵Q的第1列是求二次型f(x1，x2，x3)的表达式・

设周期为2π的函数f(x)=的傅里叶级数为(I)求系数a0，并证明an=0，(n≥1)；(Ⅱ)求傅里叶级数的和函数g(x)(-π≤x≤π)，及g(2π)的值．

设f(x)是区间[一π，π]上的偶函数，且满足．证明：f(x)在[一π，π]上的傅里叶级数展开式中系数a2n＝0，n＝1，2，…．

设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinxdx=0，证明：存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=0．

在药物的杂质检查中，其限量一般不超过百万分之十的是：

郁证初起的常见证候是：

下列哪些属于靶向制剂

男，30岁，上腹痛7d，餐后突然加剧6h，并很快波及全腹，既往有胃病史。当时查体：全腹压痛、反跳痛、肌紧张，肝浊音界消失，肠鸣音减弱。入院后最可能的诊断是

严重吸气性呼吸困难最主要的特点是()

我国会计行业自律组织主要有()。

下列表述中不正确的是()。

《簪花仕女图》的作者是()。

结构化设计中应用软件设计是其重要组成部分，它包含许多项内容，下述()是计算机进行信息处理时最基础性的工作。