(2009年)设α，β为3维列向量，βT为β的转置．若矩阵αβT相似于，则βTα＝_______．

admin2016-05-30 49

问题 (2009年)设α，β为3维列向量，β^T为β的转置．若矩阵αβ^T相似于

，则β^Tα＝_______．

选项

答案2．

解析因为矩阵相似于对角矩阵时，则对角矩阵的对角元即为矩阵的特征值，故βα^T的全部特征值为λ₁＝2，λ₂＝λ₃＝0．设α＝(a₁，a₂，a₃)^T，β＝(b₁，b₂，b₃)^T．则

由于矩阵所有特征值之和等于矩阵主对角元之和，故有
β^Tα＝b₁a₁＋b₂a₂＋b₃a₃＝λ₁＋λ₂＋λ₃＝2．

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