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(Ⅰ)设n维向量α1,α2,α3,α4线性无关.βi=αi+tα4(i=1,2,3),证明:β1,β2,β3对任意t都线性无关; (Ⅱ)设n维向量α1,α2,α3,α4满足=0,βi=αi+iλiξ,i=1,2,3,4,问λi(i=1,2,3,4)
(Ⅰ)设n维向量α1,α2,α3,α4线性无关.βi=αi+tα4(i=1,2,3),证明:β1,β2,β3对任意t都线性无关; (Ⅱ)设n维向量α1,α2,α3,α4满足=0,βi=αi+iλiξ,i=1,2,3,4,问λi(i=1,2,3,4)
admin
2022-06-19
54
问题
(Ⅰ)设n维向量α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关.β
i
=α
i
+tα
4
(i=1,2,3),证明:β
1
,β
2
,β
3
对任意t都线性无关;
(Ⅱ)设n维向量α
1
,α
2
,α
3
,α
4
满足
=0,β
i
=α
i
+iλ
i
ξ,i=1,2,3,4,问λ
i
(i=1,2,3,4)满足什么条件时,对任意n维向量考,向量组β
1
,β
2
,β
3
,β
4
总线性相关.
选项
答案
设有常数k
1
,k
2
,k
3
,使得 k
1
β
1
+k
2
β
2
+k
3
β
3
=0, 代入已知条件,得 k
1
(α
1
+tα
4
)+k
2
(α
2
+tα
4
)+k
3
(α
3
+tα
4
)=0, 整理得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
+t([*])α
4
=0. 因已知α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关,故上式成立当且仅当 k
1
=k
2
=k
3
=[*]=0, 故对任意t,β
1
,β
2
,β
3
都线性无关. (Ⅱ)[解]设有不全为零的数k
1
,k
2
,k
3
,k
4
,使得 k
1
β
1
+k
2
β
2
+k
3
β
3
+k
4
β
4
=0, 代入已知条件得 k
1
(α
1
+λ
1
ξ)+k
2
(α
2
+2λ
2
ξ)+k
3
(α
3
+3λ
3
ξ)+k
4
(α
4
+4λ
4
ξ)=0, [*] 故λ
1
,λ
2
,λ
3
,λ
4
满足λ
1
+4λ
2
+9λ
3
+16λ
4
=0时,对任意向量ξ,向量组β
1
,β
2
,β
3
,β
4
均线性相关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/5JR4777K
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考研数学三
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