设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr线性无关，向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs可由(Ⅰ)线性表示：βj＝a1jα1＋a2jα2＋…＋arjαr，(j＝1，2，…，s)．证明：向量组(Ⅱ)线性无关矩阵A＝(aij)r×s的秩为s．

admin2017-06-26 67

问题设向量组(Ⅰ)：α₁，α₂，…，α_r线性无关，向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅱ)：β₁，β₂，…，β_s可由(Ⅰ)线性表示：β_j＝a_1jα₁＋a_2jα₂＋…＋a_rjα_r，(j＝1，2，…，s)．证明：向量组(Ⅱ)线性无关

矩阵A＝(a_ij)_r×s的秩为s．

选项

答案不妨设α_i(i＝1，…，r)及β_j(j＝1，…，s)均为n维列向量，则题设的线性表示或可写成矩阵形式：[β₁ β₂ … β_s]＝[α₁ α₂ … α_r]A，或B＝PA，其中B＝[β₁ β₂ … β_s]为，n×s矩阵，P＝[α₁ α₂ … α_r]为n×r矩阵，且P的列线性无关．于是可证两个齐次线性方程组Bχ＝0与Aχ＝0同解：若Bχ＝P(Aχ)＝0，因P的列线性无关，得Aχ＝0；若Aχ＝0，两端左乘P，得PAχ＝Bχ＝0，所以Bχ＝0与Aχ＝0同解，[*]s－r(B)＝s－r(A)，[*]r(B)＝r(A)，[*](Ⅱ)线性无关[*]r(B)＝s[*]r(A)＝s．

解析

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考研数学三

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设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr线性无关，向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs可由(Ⅰ)线性表示：βj＝a1jα1＋a2jα2＋…＋arjαr，(j＝1，2，…，s)．证明：向量组(Ⅱ)线性无关矩阵A＝(aij)r×s的秩为s．

考研数学三

设三阶矩阵A的特征值为λ1=-1，λ2=0，λ3=1，则下列结论不正确的是()．

已知A是2×4矩阵，齐次方程组Ax=0的基础解系是η=(1，3，0，2)T，η2=(1，2，一1，3)T，又知齐次方程组Bx=0的基础解系是β1=(1，1，2，1)T，β2=(0，一3，1，n)T，如果齐次线性方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解，求a

已知A是3阶矩阵，α(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aαi=iαi(i=1，2，3)，令α=α1+α2+α3证明：α，Aα，A2α线性无关；

已知A是3阶矩阵，α1,α2,α3是线性无关的3维列向量，满足Aα1=一α1一3α2—3α3，Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3一2α1+3α3．求矩阵A的特征向量；

已知α1=(1，3，5，一1)T，α2=(2，7，α，4)T，α3=(5，17，一1，7)T，当α=3时，证明α1,α2,α3,α4可表示任一个4维列向量．

设y=f(x)二阶二可导，f’(x)≠0，它的反函数是x=φ(y)，又f(0)=1，f’(0)=，f’’(0)一1，则=____________.

设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数fˊ(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f(a＋b)≤f(a)＋f(b)，其中常数，a，b满足条件0≤a≤b≤a＋b≤c．

设b为常数．求曲线L:的斜渐近线l的方程；

求的间断点并分类．

Single-sexEducationforGirlsThreemainargumentsagainstsingle-sexschools.Itgoesagainstthegoalofproviding【

柠檬酸盐试验阳性，是因为细菌能利用柠檬酸盐作为唯一的碳源。

抗拉强度是指金属材料在断裂前所能承受的最大拉应力。()

简述反不正当竞争法归属于知识产权法律体系的原因。

已知三阶矩阵A=，则x=，y=，p所对应的特征值λ=__．

成人牙周炎的早期主要症状中没有

已知3维列向量α，β满足αTβ=3，设3阶矩阵A=βαT，则()。

邀请发盘对双方具有约束力。()

基本上贯穿大陆东西的气候类型是()。

设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr线性无关，向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs可由(Ⅰ)线性表示：βj＝a1jα1＋a2jα2＋…＋arjαr，(j＝1，2，…，s)．证明：向量组(Ⅱ)线性无关矩阵A＝(aij)r×s的秩为s．

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设三阶矩阵A的特征值为λ1=-1，λ2=0，λ3=1，则下列结论不正确的是()．

已知A是2×4矩阵，齐次方程组Ax=0的基础解系是η=(1，3，0，2)T，η2=(1，2，一1，3)T，又知齐次方程组Bx=0的基础解系是β1=(1，1，2，1)T，β2=(0，一3，1，n)T，如果齐次线性方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解，求a

已知A是3阶矩阵，α(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aαi=iαi(i=1，2，3)，令α=α1+α2+α3证明：α，Aα，A2α线性无关；

已知A是3阶矩阵，α1,α2,α3是线性无关的3维列向量，满足Aα1=一α1一3α2—3α3，Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3一2α1+3α3．求矩阵A的特征向量；

已知α1=(1，3，5，一1)T，α2=(2，7，α，4)T，α3=(5，17，一1，7)T，当α=3时，证明α1,α2,α3,α4可表示任一个4维列向量．

设y=f(x)二阶二可导，f’(x)≠0，它的反函数是x=φ(y)，又f(0)=1，f’(0)=，f’’(0)一1，则=____________.

设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数fˊ(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f(a＋b)≤f(a)＋f(b)，其中常数，a，b满足条件0≤a≤b≤a＋b≤c．

设b为常数．求曲线L:的斜渐近线l的方程；

求的间断点并分类．

Single-sexEducationforGirlsThreemainargumentsagainstsingle-sexschools.Itgoesagainstthegoalofproviding【

柠檬酸盐试验阳性，是因为细菌能利用柠檬酸盐作为唯一的碳源。

抗拉强度是指金属材料在断裂前所能承受的最大拉应力。()

简述反不正当竞争法归属于知识产权法律体系的原因。

已知三阶矩阵A=，则x=__________，y=__________，p所对应的特征值λ=__________．

成人牙周炎的早期主要症状中没有

已知3维列向量α，β满足αTβ=3，设3阶矩阵A=βαT，则()。

邀请发盘对双方具有约束力。()

基本上贯穿大陆东西的气候类型是()。

已知三阶矩阵A=，则x=，y=，p所对应的特征值λ=__．