设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr线性无关，向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs可由(Ⅰ)线性表示：βj＝a1jα1＋a2jα2＋…＋arjαr，(j＝1，2，…，s)．证明：向量组(Ⅱ)线性无关矩阵A＝(aij)r×s的秩为s．

admin2017-06-26 80

问题设向量组(Ⅰ)：α₁，α₂，…，α_r线性无关，向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅱ)：β₁，β₂，…，β_s可由(Ⅰ)线性表示：β_j＝a_1jα₁＋a_2jα₂＋…＋a_rjα_r，(j＝1，2，…，s)．证明：向量组(Ⅱ)线性无关

矩阵A＝(a_ij)_r×s的秩为s．

选项

答案不妨设α_i(i＝1，…，r)及β_j(j＝1，…，s)均为n维列向量，则题设的线性表示或可写成矩阵形式：[β₁ β₂ … β_s]＝[α₁ α₂ … α_r]A，或B＝PA，其中B＝[β₁ β₂ … β_s]为，n×s矩阵，P＝[α₁ α₂ … α_r]为n×r矩阵，且P的列线性无关．于是可证两个齐次线性方程组Bχ＝0与Aχ＝0同解：若Bχ＝P(Aχ)＝0，因P的列线性无关，得Aχ＝0；若Aχ＝0，两端左乘P，得PAχ＝Bχ＝0，所以Bχ＝0与Aχ＝0同解，[*]s－r(B)＝s－r(A)，[*]r(B)＝r(A)，[*](Ⅱ)线性无关[*]r(B)＝s[*]r(A)＝s．

解析

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考研数学三

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设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr线性无关，向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs可由(Ⅰ)线性表示：βj＝a1jα1＋a2jα2＋…＋arjαr，(j＝1，2，…，s)．证明：向量组(Ⅱ)线性无关矩阵A＝(aij)r×s的秩为s．

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