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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,|f(x)dx=0.证明: (1)存在c∈(a,b),使得f’(c)=0; (2)存在ξi∈(a,b)(i=1,2),且ξi≠ξ2,使得f’(ξ1)+f(ξi)=0(i=1,2);
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,|f(x)dx=0.证明: (1)存在c∈(a,b),使得f’(c)=0; (2)存在ξi∈(a,b)(i=1,2),且ξi≠ξ2,使得f’(ξ1)+f(ξi)=0(i=1,2);
admin
2018-01-23
60
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,|f(x)dx=0.证明:
(1)存在c∈(a,b),使得f’(c)=0;
(2)存在ξ
i
∈(a,b)(i=1,2),且ξ
i
≠ξ
2
,使得f’(ξ
1
)+f(ξ
i
)=0(i=1,2);
(3)存在ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)=f(ξ);
(4)存在η∈(a,b),使得f’’(η)-3f’(η)+2f(η)=0.
选项
答案
(1)令F(x)=∫
a
x
f(t)dt,则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F’(x)= f(x).故存在c∈(a,b),使得 ∫
a
b
f(x)dx=F(b)-F(a)=F’(c)(b-a)=f(c)(b-a)=0,即f(c)=0. (2)令h(x)=e
x
f(x),因为h(a)=h(c)=h(b)=0,所以由罗尔定理,存在ξ
1
(a,c), ξ
2
∈(c,b),使得h’(ξ
1
)=h’(ξ
2
)=0, 而h’(x)=e
x
[f’(x)+f(x)]且e
x
≠0,所以f’(ξ
i
)+f(ξ
i
)=0(i=1,2). (3)令φ(x)=e
-x
[f’(x)+f(x)],φ(ξ
1
)=φ(ξ
2
)=0,由罗尔定理,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a, b),使得φ’(ξ)=0, 而φ’(x)=e
-x
[f’’(x)-f(x)]且e
-x
≠0,所以f’’(ξ)=f(ξ). (4)令g(x)=e
-x
f(x),g(a)=g(c)=g(b)=0, 由罗尔定理,存在η
1
∈(a,c),η
2
∈(c,b),使得g’(η
1
)=g’(η
2
)=0, 而g’(x)=e
-x
[f’(x)-f(x)]且e
-x
≠0,所以f’(η
1
)-f(η
1
)=0,f’(η
2
)-f(η
2
)=0. 令φ(x)=e
-2x
[f’(x)-f(x)],φ(η
1
)=φ(η
2
)=0, 由罗尔定理,存在η∈(η
1
,η
2
)[*](a,b),使得φ’(η)=0, 而φ’(x)=e
-2x
[f’’(x)-3f’(x)+2f(x)]且e
-2x
≠0, 所以f’’(η)-3f’(η)+2f(η)=0.
解析
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考研数学三
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