2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，｜f(x)dx＝0．证明： (1)存在c∈(a，b)，使得f’(c)＝0； (2)存在ξi∈(a，b)(i＝1，2)，且ξi≠ξ2，使得f’(ξ1)＋f(ξi)＝0(i＝1，2)；

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，｜f(x)dx＝0．证明： (1)存在c∈(a，b)，使得f’(c)＝0； (2)存在ξi∈(a，b)(i＝1，2)，且ξi≠ξ2，使得f’(ξ1)＋f(ξi)＝0(i＝1，2)；

admin2018-01-23  43
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，｜f(x)dx＝0．证明：
(1)存在c∈(a，b)，使得f’(c)＝0；
(2)存在ξi∈(a，b)(i＝1，2)，且ξi≠ξ2，使得f’(ξ1)＋f(ξi)＝0(i＝1，2)；
(3)存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)＝f(ξ)；
(4)存在η∈(a，b)，使得f’’(η)－3f’(η)＋2f(η)＝0．
选项
答案(1)令F(x)＝∫axf(t)dt，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F’(x)＝ f(x)．故存在c∈(a，b)，使得 ∫abf(x)dx＝F(b)－F(a)＝F’(c)(b－a)＝f(c)(b－a)＝0，即f(c)＝0． (2)令h(x)＝exf(x)，因为h(a)＝h(c)＝h(b)＝0，所以由罗尔定理，存在ξ1(a，c)， ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)＝h’(ξ2)＝0， 而h’(x)＝ex[f’(x)＋f(x)]且ex≠0，所以f’(ξi)＋f(ξi)＝0(i＝1，2)． (3)令φ(x)＝e－x[f’(x)＋f(x)]，φ(ξ1)＝φ(ξ2)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a， b)，使得φ’(ξ)＝0， 而φ’(x)＝e－x[f’’(x)－f(x)]且e－x≠0，所以f’’(ξ)＝f(ξ)． (4)令g(x)＝e－xf(x)，g(a)＝g(c)＝g(b)＝0， 由罗尔定理，存在η1∈(a，c)，η2∈(c，b)，使得g’(η1)＝g’(η2)＝0， 而g’(x)＝e－x[f’(x)－f(x)]且e－x≠0，所以f’(η1)－f(η1)＝0，f’(η2)－f(η2)＝0． 令φ(x)＝e－2x[f’(x)－f(x)]，φ(η1)＝φ(η2)＝0， 由罗尔定理，存在η∈(η1，η2)[*](a，b)，使得φ’(η)＝0， 而φ’(x)＝e－2x[f’’(x)－3f’(x)＋2f(x)]且e－2x≠0， 所以f’’(η)－3f’(η)＋2f(η)＝0．
解析
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考研数学三

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