设矩阵A=矩阵B=(kE+A)2，求对角矩阵A，并证明B和A相似，并问k为何值时，B为正定矩阵．

admin2018-09-20 89

问题设矩阵A=

矩阵B=(kE+A)²，求对角矩阵A，并证明B和A相似，并问k为何值时，B为正定矩阵．

选项

答案|λE一A|=[*]=λ(λ一2)²，A是实对称矩阵，故存在正交矩阵Q，使得 Q^TAQ=A₁=[*]．A=QA₁Q^T， B=(kE+A)²=(kE+QA₁Q^T)²=[Q(kE+A₁)Q^T]²=Q(kE+A₁)²Q^T [*] 当k≠0且k≠一2时，B的特征值全部大于0，这时B为正定矩阵．

解析

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考研数学三

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已知α=(1，1，-1)T是矩阵A=的特征向量，则x=_______．
证明：当x＞1时，0＜lnx+
已知α=(1，-2，2)T是二次型xTAx=ax12+4x22+bx32-4x1x2+4x1x3-8x2x3矩阵A的特征向量，求正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换．
设3阶矩阵A的特征值λ=1，λ=2，λ=3对应的特征向量依次为α1=(1，1，1)T，α2=(1，2，4)T，α3=(1，3，9)T．(Ⅰ)将向量β=(1，1，3)T用α1，α2，α3线性表出：(Ⅱ)求Anβ．
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