设函数f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )

admin2020-03-24 22

问题设函数f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )

选项 A、∫₀^xt[f(t)一f(一t)]dt。
B、∫₀^xt[f(t)+f(一t)]dt。
C、∫₀^xf(t²)dt
D、∫₀^x[f(t)]dt。

答案B

解析方法一：取f(x)=x，则相应的
∫₀^x[f(t)一f(一t)dt=∫₀^x2t²dt=

x³
∫₀^xf(t²)dt=∫₀^xt²dt=

x²,∫₀^x[f(t)]²dt=∫₀^xt²dt=

x³
均为奇函数，因此不选A、C、D，故选B。
方法二：易知f(t)+f(一t)为偶函数，t为奇函数，故t[f(t)+f(一t)]为奇函数，由函数及其导函数奇偶性的关系可知，其原函数∫₀^xt[f(t)+f(－t)]dt必为偶函数。
同理可知，A、C两项为奇函数，D项无法判断，故选B。

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考研数学三

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