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  3. 设函数f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )

设函数f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )

admin2020-03-24  28
问题 设函数f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是(    )
选项 A、∫0xt[f(t)一f(一t)]dt。
B、∫0xt[f(t)+f(一t)]dt。
C、∫0xf(t2)dt
D、∫0x[f(t)]dt。
答案B
解析 方法一：取f(x)=x，则相应的
∫0x[f(t)一f(一t)dt=∫0x2t2dt=x3
∫0xf(t2)dt=∫0xt2dt=x2,∫0x[f(t)]2dt=∫0xt2dt=x3
均为奇函数，因此不选A、C、D，故选B。
    方法二：易知f(t)+f(一t)为偶函数，t为奇函数，故t[f(t)+f(一t)]为奇函数，由函数及其导函数奇偶性的关系可知，其原函数∫0xt[f(t)+f(－t)]dt必为偶函数。
    同理可知，A、C两项为奇函数，D项无法判断，故选B。
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考研数学三

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