设f(x)在（－1,1）内二阶连续可导，且f"(x)≠0,证明：对(－1,1)内任意一点x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使得 f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x].

admin2021-11-25 29

问题设f(x)在（－1,1）内二阶连续可导，且f"(x)≠0,证明：
对(－1,1)内任意一点x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使得
f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x].

选项

答案对任意x∈(－1,1),根据微分中值定理，得 f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x],其中0＜o(x)＜1, 因为f"(x)∈C(－1,1)且f"(x)≠0,所以f"(x)在（－1,1）内保号，不妨设f"(x)＞0，则f’(x)在（－1,1）内单调增加，又由于x≠0,所以θ(x)是唯一的。

解析

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考研数学二

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