设A是n阶反对称矩阵。 (Ⅰ)证明：A可逆的必要条件是儿为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵； (Ⅱ)试举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子。

admin2019-07-19 19

问题设A是n阶反对称矩阵。
(Ⅰ)证明：A可逆的必要条件是儿为偶数；当n为奇数时，A^*是对称矩阵；
(Ⅱ)试举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子。

选项

答案(Ⅰ)根据反对称矩阵的定义：A^T=-A，则｜A｜=｜A^T｜=｜-A｜=(-1)ⁿ｜A｜，即[1-(-1)ⁿ]｜A｜=0。若n=2k+1，必有｜A｜=0，此时A不可逆。所以A可逆的必要条件是n为偶数。因为A^T=-A，则由(A^*)^T=(A^T)^*有 (A^*)^t=(A^t)^*=(-A)^*。又因(lA)^*=l^n-1A^*，故当n=2k+1时，有 (A^*)^T=(-1)^2KA^*=A^*，即A^*是对称矩阵。 (Ⅱ)例如，A=[*]是4阶反对称矩阵，且不可逆。

解析

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考研数学一

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