2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上有定义，M＞0且对任意的x，y∈[a，b]，有 ｜f(x)—f(y)｜≤M｜x—y｜k． (1)证明：当k＞0时，f(x)在[a，b]上连续； (2)证明：当｜k｜＞1时，f(x)=常数．

设f(x)在[a，b]上有定义，M＞0且对任意的x，y∈[a，b]，有 ｜f(x)—f(y)｜≤M｜x—y｜k． (1)证明：当k＞0时，f(x)在[a，b]上连续； (2)证明：当｜k｜＞1时，f(x)=常数．

admin2018-11-22  29
问题 设f(x)在[a，b]上有定义，M＞0且对任意的x，y∈[a，b]，有
    ｜f(x)—f(y)｜≤M｜x—y｜k．
  (1)证明：当k＞0时，f(x)在[a，b]上连续；
  (2)证明：当｜k｜＞1时，f(x)=常数．
选项
答案(1)对任意的x0∈[a，b]，由已知条件得 0≤|f(x)一f(x0)|≤M|x—x0|k，[*]=f(x0)， 再由x0的任意性得f(x)在[a，b]上连续． (2)对任意的x0∈[a，b]，因为k＞1， 所以0≤[*]≤M|x—x0|k—1，由夹逼定理得f’(x0)=0，因为x0是任意一点，所以f’(x)≡0，故f(x)≡常数．
解析
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考研数学一

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