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  3. 设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，证明 ∫abf(x)dx=(b一a)[f(a)+f(b)]+∫abf’’(x)(x一a)(x—b)dx。[img][/img]

设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，证明 ∫abf(x)dx=(b一a)[f(a)+f(b)]+∫abf’’(x)(x一a)(x—b)dx。[img][/img]

admin2018-12-19  56
问题 设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，证明
∫abf(x)dx=(b一a)[f(a)+f(b)]+∫abf’’(x)(x一a)(x—b)dx。[img][/img]
选项
答案连续利用分部积分法有 ∫abf(x)dx=∫abf(x)d(x一b)=f(a)(b一a)一∫abf’(x)(x一b)d(x一a) =f(a)(b一a)+∫ab(x一a)d[f’(x)(x一b)] =f(a)(b一a)+∫ab(x一a)df(x)+∫abf’’(x)(x一a)(x一b)dx =f(a)(b一a)+f(b)(b一a)一∫abf(x)dx+∫abf’’(x)(x一a)(x一b)dx， 移项并整理得 ∫abf(x)dx=[*](b一a)[f(a)+f(b)]+[*]∫abf’’(x)(x一a)(x一b)dx。
解析
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考研数学二

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