(I)设A，B为n阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵A，B相似； (Ⅱ)设求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．

admin2020-11-16 35

问题 (I)设A，B为n阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵A，B相似；
(Ⅱ)设

求可逆矩阵P，使得P^-1AP=B．

选项

答案(I)设A，B的特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n，因为A，B可相似对角化，所以存在可逆矩阵P₁，P₂，使得 [*] 于是P₁^-1AP₁=P₂^-1BP₂．或(P₁P₂^-1)^-1A(P₁P₂^-1)=B，令P=P₁P₂^-1，则P^-1AP=B，即矩阵A，B相似． (Ⅱ)由[*]得λ₁=一1，λ₂=λ₃=1；由[*]得μ₁=一1，μ₂=μ₃=1．由[*]得 A的属于λ₁=一1的线性无关特征向量为[*] 由[*]得 A的属于特征值λ₂=λ₃=1的线性无关的特征向量为[*] 令[*]则[*] 由[*]得 B的属于μ₁=一1的线性无关特征向量为[*] 由[*]得 B的属于特征值μ₂=μ₃=1的线性无关的特征向量为[*] 令[*]则[*] 故[*]使得P^-1AP=B．

解析

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考研数学一

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(I)设A，B为n阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵A，B相似； (Ⅱ)设求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．

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