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  3. (I)设A，B为n阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵A，B相似； (Ⅱ)设求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．

(I)设A，B为n阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵A，B相似； (Ⅱ)设求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．

admin2020-11-16  34
问题 (I)设A，B为n阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵A，B相似；
    (Ⅱ)设求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．
选项
答案(I)设A，B的特征值为λ1，λ2，…，λn， 因为A，B可相似对角化，所以存在可逆矩阵P1，P2，使得 [*] 于是P1-1AP1=P2-1BP2．或(P1P2-1)-1A(P1P2-1)=B， 令P=P1P2-1，则P-1AP=B，即矩阵A，B相似． (Ⅱ)由[*]得λ1=一1，λ2=λ3=1； 由[*]得μ1=一1，μ2=μ3=1． 由[*]得 A的属于λ1=一1的线性无关特征向量为[*] 由[*]得 A的属于特征值λ2=λ3=1的线性无关的特征向量为[*] 令[*]则[*] 由[*]得 B的属于μ1=一1的线性无关特征向量为[*] 由[*]得 B的属于特征值μ2=μ3=1的线性无关的特征向量为[*] 令[*]则[*] 故[*]使得P-1AP=B．
解析
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考研数学一

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