在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处在曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在(1，1)处在切线与x轴平行．

admin2019-07-01 36

问题在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处在曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在(1，1)处在切线与x轴平行．

选项

答案曲线y=y(x)在点P(x，y)处的发现方程为Y-y=- 1/y^’(X-x)(当y^’≠0时)，它与x轴的交点是Q(x+yy^’，0)，从而｜PQ｜=[*] (当y^’=0时，有Q(x，0)，｜PQ｜=y，上式仍成立)，根据题意得微分方程[*]即yy^’’=1+Y^’2．且当x=1时y=1。 y^’=0．令y^’=P(r)，则y^’’=[*]，二阶方程降为一阶方程[*]=1+P²．分离变量得[*]，积分并注意P｜_x=1=y^’｜_x=1=0，得[*] 即y^’2=y²-1。y^’=[*]，分离变量得[*] 积分并注意y｜_x=1=1，得[*] 即[*]

解析

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考研数学一

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在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处在曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在(1，1)处在切线与x轴平行．

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