2. 考研
  3. 设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=O．若A的秩为3，则A相似于( )

设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=O．若A的秩为3，则A相似于( )

admin2021-01-25  80
问题 设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=O．若A的秩为3，则A相似于(    )
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案D
解析 1 设λ为A的特征值且ξ为对应的特征向量，则有Amξ=λmξ(m=1，2，…)，故有
(A2+A)ξ=Oξ=0，
即(λ2+λ)ξ=0，
因ξ≠0，得λ2+λ=0，从而有λ=0或λ=－1，又因r(A)=3，所以A的非零特征值有3个，有1个特征值为0，即A的全部特征值为：－1，－1，－1，0，所以只有选项D正确．
2 设A按列分块为A=[α1α2α3α4]，由r(A)=3，知A的列向量组的极大无关组含3个向量，不妨设a1，α2，α3是A的列向量组的极大无关组．由于A2=－A，即
A[α1α2α3α4]=－[α1α2α3α4]，
即[Aα1Aα2Aα3Aα4]=[－α1－α2－α3－α4]，
得Aαj=－αj，j=1，2，3，4．
由此可知一－1是A的特征值值且α1，α2，α3为对应的3个线性无关的特征向量，故－1至少是A的3重特征值．而r(A)=3＜4，知0也是A的一个特征值．于是知A的全部特征值为：－1，－1，－1，0，且每个特征值对应的线性无关特征向量个数正好等于该特征值的重数，故A相似于对角矩阵D=diag(－1，－1，－1，0)，故选项D正确．
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考研数学三

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