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  3. 假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y=一1}=，求：(I)Z=XY的概率密度fZ(z)；(Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(v)．

假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y=一1}=，求：(I)Z=XY的概率密度fZ(z)；(Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(v)．

admin2017-08-07  103
问题 假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y=一1}=，求：(I)Z=XY的概率密度fZ(z)；(Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(v)．
选项
答案(I)依题意P{Y=一1}=[*]X～N(0，1)且X与Y相互独立，于是Z=XY的分布函数为 FZ(z)=P{XY≤z}=P{Y=一1}P{XY≤z|Y=一1}+P{Y=1}P{XY≤z|Y=1} =P{Y=一1}P{一X≤z|Y=一1}+P{Y=1}P{X≤z|Y=1} =P{Y=一1}P{X≥一z}+P{Y=1}P{X≤z} [*] 即Z=XY服从标准正态分布，其概率密度为 [*] (Ⅱ)由于V=|X—Y|只取非负值，因此当v＜0时，其分布函数FV(v)=P{|X—Y|≤v}=0；当v≥0时， FV(v)=P{一v≤X—Y≤v} =P{Y=一1}P{一v≤X—Y≤v|Y=一1}+P{Y=1}P{一v≤X—Y≤v|Y=1} [*] 由于FV(v)是连续函数，且除个别点外，导数存在，因此V的概率密度为 [*]
解析
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考研数学一

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