设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(A)=f(B)=1,证明:必存在ξ,η∈(a,b),使得eη-ξ[f(η)+f’(η)]=1。

admin2018-11-11  58

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(A)=f(B)=1,证明:必存在ξ,η∈(a,b),使得eη-ξ[f(η)+f’(η)]=1。

选项

答案设F(x)=exf(x),由已知f(x)及ex在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,均满足拉格朗日中值定理条件,因此存在ξ,η∈(a,b),使得 F(B)一F(A)=ebf(B)一eaf(A) =F’(η)(b—a) =eη[f’(η)+f(η)](b—a) 及 eb一ea=eξ(b—a)。将以上两式相比,且由f(A)=f(B)=1,整理后有eη-ξ[f(η)+f’(η)]=1。

解析
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