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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(A)=f(B)=1,证明:必存在ξ,η∈(a,b),使得eη-ξ[f(η)+f’(η)]=1。
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(A)=f(B)=1,证明:必存在ξ,η∈(a,b),使得eη-ξ[f(η)+f’(η)]=1。
admin
2018-11-11
47
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(A)=f(B)=1,证明:必存在ξ,η∈(a,b),使得e
η-ξ
[f(η)+f’(η)]=1。
选项
答案
设F(x)=e
x
f(x),由已知f(x)及e
x
在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,均满足拉格朗日中值定理条件,因此存在ξ,η∈(a,b),使得 F(B)一F(A)=e
b
f(B)一e
a
f(A) =F’(η)(b—a) =e
η
[f’(η)+f(η)](b—a) 及 e
b
一e
a
=e
ξ
(b—a)。将以上两式相比,且由f(A)=f(B)=1,整理后有e
η-ξ
[f(η)+f’(η)]=1。
解析
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考研数学二
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