设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT，试求：矩阵A的特征值和特征向量．

admin2016-01-11 62

问题设向量α=(a₁，a₂，…，a_n)^T，β=(b₁，b₂，…，b_n)^T都是非零向量，且满足条件α^Tβ=0．记n阶矩阵A=αβ^T，试求：
矩阵A的特征值和特征向量．

选项

答案设λ为A的任一特征值，A的属于λ的特征向量为ξ，则Aξ=Aξ，于是A²ξ=λAξ=A²ξ由(1)知，A²=O，故有λ²ξ=0．因为特征向量ξ≠0，所以λ²=0，即λ=0，故矩阵A的特征值全为零．不妨设向量α，β的分量a₁≠0，b₁≠0．对齐次线性方程组(0.E-A)x=0的系数矩阵作初等行变换，得[*] 于是A的属于特征值λ=0的全部特征向量为k₁α₁+k₂α₂+…+k_n-1α_n-1，其中k₁，k₂，…，k_n-1是不全为零的任意常数．

解析

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考研数学二

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设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT，试求：矩阵A的特征值和特征向量．

考研数学二

设A＝，B＝，C＝，D＝，那么与对角矩阵相似的矩阵是()．

设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关．(Ⅰ)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示；(Ⅱ)设，求出可由两组向量同时表示的向量．

设A，B，C是n阶矩阵，并满足ABAC=E，则下列结论中不正确的是

设A是3阶实对称矩阵，二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22-y32，A是A的伴随矩阵，则二次型g(x1，x2，x3)-xTAx的规范形为()

设A=E-ααT，α为3维非零列向量．(I)求A-1，并证明：α与Aα线性相关；(Ⅱ)若α=(α，α，α)T(a≠0)，求正交矩阵Q，使得QTAQ=A；(Ⅲ)在(Ⅱ)的基础上，A与A2是否合同?说明理由．

设α=(1，a，1)T(a＞0)是A-1的特征向量，其中A=，则a=________．

设n维实列向量α满足αTα=2，A，B，E均为n阶矩阵，且A(E-2ααT)=B，则()

设，下列矩阵中与A既不相似也不合同的是()

设A为3阶实对称矩阵，β=(3，3，3)T，方程组Ax=β的通解为k1(-1，2，-1)T+k2(0，-1，1)T+(1，1，1)T(k1，k2为任意常数)．求A的特征值和特征向量；

设3阶实对称矩阵A=(a1，a2，a3)有二重特征值λ1=λ2=2，且满足a1-2a3=(-3，0，6)T．求正交变换x=Qy，将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形；

桥式起重机中总过流继电器整定值应为最大电机额定电流的()再加上其余电机额定电流之和。

明兹伯格的组织理论认为，任何一个组织都有五个基本构成部分，即___、_、__、_和___。

设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是来自X的简单随机样本，是样本均值，则()

【B1】【B20】

手术切口裂开的原因主要有_____、_和_____。

与肺痛发病关系最密切的因素是（）

下列哪项不是绝育手术的术后并发症

根据财务管理的理论，必要投资收益等于期望投资收益和风险收益之和。()

下列有关销售商品收入的处理中，不正确的有()。

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设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关．(Ⅰ)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示；(Ⅱ)设，求出可由两组向量同时表示的向量．

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设A是3阶实对称矩阵，二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22-y32，A*是A的伴随矩阵，则二次型g(x1，x2，x3)-xTA*x的规范形为()

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设A为3阶实对称矩阵，β=(3，3，3)T，方程组Ax=β的通解为k1(-1，2，-1)T+k2(0，-1，1)T+(1，1，1)T(k1，k2为任意常数)．求A的特征值和特征向量；

设3阶实对称矩阵A=(a1，a2，a3)有二重特征值λ1=λ2=2，且满足a1-2a3=(-3，0，6)T．求正交变换x=Qy，将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形；

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设A是3阶实对称矩阵，二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22-y32，A是A的伴随矩阵，则二次型g(x1，x2，x3)-xTAx的规范形为()

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