设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT，试求：矩阵A的特征值和特征向量．

admin2016-01-11 65

问题设向量α=(a₁，a₂，…，a_n)^T，β=(b₁，b₂，…，b_n)^T都是非零向量，且满足条件α^Tβ=0．记n阶矩阵A=αβ^T，试求：
矩阵A的特征值和特征向量．

选项

答案设λ为A的任一特征值，A的属于λ的特征向量为ξ，则Aξ=Aξ，于是A²ξ=λAξ=A²ξ由(1)知，A²=O，故有λ²ξ=0．因为特征向量ξ≠0，所以λ²=0，即λ=0，故矩阵A的特征值全为零．不妨设向量α，β的分量a₁≠0，b₁≠0．对齐次线性方程组(0.E-A)x=0的系数矩阵作初等行变换，得[*] 于是A的属于特征值λ=0的全部特征向量为k₁α₁+k₂α₂+…+k_n-1α_n-1，其中k₁，k₂，…，k_n-1是不全为零的任意常数．

解析

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考研数学二

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设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT，试求：矩阵A的特征值和特征向量．

考研数学二

设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关．(Ⅰ)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示；(Ⅱ)设，求出可由两组向量同时表示的向量．

设A，B，C是n阶矩阵，并满足ABAC=E，则下列结论中不正确的是

设A=(β-α1-2α2-3α3，α1，α2，α3)，α1，α2，α3，β均是3维列向量，则方程组Ax=β有特解为________．

设A=E-ααT，α为3维非零列向量．(I)求A-1，并证明：α与Aα线性相关；(Ⅱ)若α=(α，α，α)T(a≠0)，求正交矩阵Q，使得QTAQ=A；(Ⅲ)在(Ⅱ)的基础上，A与A2是否合同?说明理由．

设α=(1，a，1)T(a＞0)是A-1的特征向量，其中A=，则a=________．

设幂级数an(x+1)n在x=4处条件收敛，在x=-6处发散，则幂级数的收敛域为________．

设P{X=0)=1/4，P{X=1}=3/4，P{Y=-1/2}=1，3维向量组α1，α2，α3线性无关，则α1+α2，α2+2α3，Xα3+Yα1线性相关的概率为()

设矩阵满足CTAC=B.求正交矩阵Q，使得Q-1AQ=A；

设Aij为A中aij(i，j=1，2，3)的代数余子式，二次型的矩阵为B.求可逆矩阵P，使得PTAP=B.

设3阶实对称矩阵A=(a1，a2，a3)有二重特征值λ1=λ2=2，且满足a1-2a3=(-3，0，6)T．k为何值时，A*+kE是正定矩阵?

计划发行债券的公司，担心未来融资成本上升，通常会利用利率期货进行()来规避风险。

下列词中，和其他三项不属于一个语义场的词是()

目标监测包括（）

A．下肢关节主动屈伸运动B．下肢关节被动旋转运动C．桥氏运动D．空踩自行车运动E．持续性被动运动(CPM)股骨颈骨折病人术后第2周可进行

在诊断能量范围内不产生的效应是

医学道德的原则不包括

微分方程y’’-3y’+2y=xex的待定特解的形式是：

______animportantdecisionmoreonemotionthanonreason,youwillregretitsoonerorlater.

(1)Muckyroads,unpredictableweather,andwetgroundthatsagsbeneathyourfeet.ItmustbespringtimeinNewEngland.(2)

Interruption,moresurelythananythingelse,killsconversation.Thebestoftalkersinterrupt【C1】______inconversation.Howe

设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT，试求： 矩阵A的特征值和特征向量．

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设A，B，C是n阶矩阵，并满足ABAC=E，则下列结论中不正确的是

设A=(β-α1-2α2-3α3，α1，α2，α3)，α1，α2，α3，β均是3维列向量，则方程组Ax=β有特解为________．

设A=E-ααT，α为3维非零列向量．(I)求A-1，并证明：α与Aα线性相关；(Ⅱ)若α=(α，α，α)T(a≠0)，求正交矩阵Q，使得QTAQ=A；(Ⅲ)在(Ⅱ)的基础上，A与A2是否合同?说明理由．

设α=(1，a，1)T(a＞0)是A-1的特征向量，其中A=，则a=________．

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设P{X=0)=1/4，P{X=1}=3/4，P{Y=-1/2}=1，3维向量组α1，α2，α3线性无关，则α1+α2，α2+2α3，Xα3+Yα1线性相关的概率为()

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设Aij为A中aij(i，j=1，2，3)的代数余子式，二次型的矩阵为B.求可逆矩阵P，使得PTAP=B.

设3阶实对称矩阵A=(a1，a2，a3)有二重特征值λ1=λ2=2，且满足a1-2a3=(-3，0，6)T．k为何值时，A*+kE是正定矩阵?

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A．下肢关节主动屈伸运动B．下肢关节被动旋转运动C．桥氏运动D．空踩自行车运动E．持续性被动运动(CPM)股骨颈骨折病人术后第2周可进行

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微分方程y’’-3y’+2y=xex的待定特解的形式是：

______animportantdecisionmoreonemotionthanonreason,youwillregretitsoonerorlater.

(1)Muckyroads,unpredictableweather,andwetgroundthatsagsbeneathyourfeet.ItmustbespringtimeinNewEngland.(2)

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设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT，试求：矩阵A的特征值和特征向量．