设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT，试求：矩阵A的特征值和特征向量．

admin2016-01-11 37

问题设向量α=(a₁，a₂，…，a_n)^T，β=(b₁，b₂，…，b_n)^T都是非零向量，且满足条件α^Tβ=0．记n阶矩阵A=αβ^T，试求：
矩阵A的特征值和特征向量．

选项

答案设λ为A的任一特征值，A的属于λ的特征向量为ξ，则Aξ=Aξ，于是A²ξ=λAξ=A²ξ由(1)知，A²=O，故有λ²ξ=0．因为特征向量ξ≠0，所以λ²=0，即λ=0，故矩阵A的特征值全为零．不妨设向量α，β的分量a₁≠0，b₁≠0．对齐次线性方程组(0.E-A)x=0的系数矩阵作初等行变换，得[*] 于是A的属于特征值λ=0的全部特征向量为k₁α₁+k₂α₂+…+k_n-1α_n-1，其中k₁，k₂，…，k_n-1是不全为零的任意常数．

解析

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考研数学二

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设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT，试求：矩阵A的特征值和特征向量．

考研数学二

设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关．(Ⅰ)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示；(Ⅱ)设，求出可由两组向量同时表示的向量．

设3阶实对称矩阵A满足A2=2A，已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换x=Qy化为λy22+λy32(λ≠0)，其中Q=(b＞0，c＞0)．求a，b，c的值；

设相似．求一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B；

设3阶矩阵A的特征值均为1，将A的第1列加到第2列得B，则｜A+B｜=()

设A=E-ααT，α为3维非零列向量．(I)求A-1，并证明：α与Aα线性相关；(Ⅱ)若α=(α，α，α)T(a≠0)，求正交矩阵Q，使得QTAQ=A；(Ⅲ)在(Ⅱ)的基础上，A与A2是否合同?说明理由．

设P{X=0)=1/4，P{X=1}=3/4，P{Y=-1/2}=1，3维向量组α1，α2，α3线性无关，则α1+α2，α2+2α3，Xα3+Yα1线性相关的概率为()

设n维实列向量α满足αTα=2，A，B，E均为n阶矩阵，且A(E-2ααT)=B，则()

设，下列矩阵中与A既不相似也不合同的是()

设3阶实对称矩阵A=(a1，a2，a3)有二重特征值λ1=λ2=2，且满足a1-2a3=(-3，0，6)T．k为何值时，A*+kE是正定矩阵?

设3阶实对称矩阵A=(a1，a2，a3)有二重特征值λ1=λ2=2，且满足a1-2a3=(-3，0，6)T．求正交变换x=Qy，将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形；

直线职能制的优缺点是什么？

虚劳的辨证要点是

下列关于前清蛋白的描述，正确的是A．是维持血浆渗透压最主要的蛋白质B．血清中的参考范围为200～400mg/mlC．对T4的亲和力比T3大D．在醋酸纤维素薄膜电泳中显示在清蛋白的阳极侧E．半寿期很长

膜电位由-70mV上升为+30mV的过程称为

民事诉讼中，下列说法正确的是()。

政府统计活动是一项国家活动，因此无需依赖于法律，也不受法律约束。()

解决台湾问题、实现祖国完全统一，是全体中华儿女()，是中华民族()所在。

下列关于公安机关各警种间的分丁与协作的理解，正确的包括()。

Heisalreadyonthewrongsideofforties.It’s______(该是他找个妻子，安个家的时候了).

设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT，试求： 矩阵A的特征值和特征向量．

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设3阶矩阵A的特征值均为1，将A的第1列加到第2列得B，则｜A*+B*｜=()

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