设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT，试求：矩阵A的特征值和特征向量．

admin2016-01-11 26

问题设向量α=(a₁，a₂，…，a_n)^T，β=(b₁，b₂，…，b_n)^T都是非零向量，且满足条件α^Tβ=0．记n阶矩阵A=αβ^T，试求：
矩阵A的特征值和特征向量．

选项

答案设λ为A的任一特征值，A的属于λ的特征向量为ξ，则Aξ=Aξ，于是A²ξ=λAξ=A²ξ由(1)知，A²=O，故有λ²ξ=0．因为特征向量ξ≠0，所以λ²=0，即λ=0，故矩阵A的特征值全为零．不妨设向量α，β的分量a₁≠0，b₁≠0．对齐次线性方程组(0.E-A)x=0的系数矩阵作初等行变换，得[*] 于是A的属于特征值λ=0的全部特征向量为k₁α₁+k₂α₂+…+k_n-1α_n-1，其中k₁，k₂，…，k_n-1是不全为零的任意常数．

解析

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考研数学二

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设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT，试求：矩阵A的特征值和特征向量．

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设相似．求一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B；

设在点处，函数f(x，y)=x2+(y-1)2(x≠0)在条件=1(a＞0，b＞0)下取得最小值，求a，b的值．

设A=E-ααT，α为3维非零列向量．(I)求A-1，并证明：α与Aα线性相关；(Ⅱ)若α=(α，α，α)T(a≠0)，求正交矩阵Q，使得QTAQ=A；(Ⅲ)在(Ⅱ)的基础上，A与A2是否合同?说明理由．

设幂级数an(x+1)n在x=4处条件收敛，在x=-6处发散，则幂级数的收敛域为________．

设A，B均是n阶方阵，已知A-E可逆，｜B｜=1，且(A-E)-1=B-E，其中B为B的伴随矩阵．则A-1=________．

设P{X=0)=1/4，P{X=1}=3/4，P{Y=-1/2}=1，3维向量组α1，α2，α3线性无关，则α1+α2，α2+2α3，Xα3+Yα1线性相关的概率为()

设n维实列向量α满足αTα=2，A，B，E均为n阶矩阵，且A(E-2ααT)=B，则()

设，下列矩阵中与A既不相似也不合同的是()

设Aij为A中aij(i，j=1，2，3)的代数余子式，二次型的矩阵为B.求可逆矩阵P，使得PTAP=B.

设向量a=(1，1，-1)T是的一个特征向量．A是否相似于对角矩阵?说明理由．

下面关于现代城市设计的表述不正确的是()。

某工程项目，有一延期事件发生，承包单位应当(　　)通知监理工程师。

石膏胶凝材料品种主要有()。

在美国，住房抵押贷款的种类包括(　　)。

关于事后检验，下列说法正确的是()。

下图为华北地区某地地质剖面(局部)示意图。读图完成下题。甲、乙两坡地不同的植物生长分布，从地域分异规律看属于()。

R1、R2是一个自治系统中采用RIP路由协议的两个相邻路由器，R1的路由表如下图(a)所示，当Rl收到R2发送的如下图(b)的[V，D]报文后，R1更新的4个路由表项中距离值从上到下依次为0、3、3、4。那么，①②③④可能的取值依次为()。

WillRussiachangetheclocktowintertimethisautumn?

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