2. 考研
  3. 设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT，试求： 矩阵A的特征值和特征向量．

设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT，试求： 矩阵A的特征值和特征向量．

admin2016-01-11  43
问题 设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT，试求：
矩阵A的特征值和特征向量．
选项
答案设λ为A的任一特征值，A的属于λ的特征向量为ξ，则Aξ=Aξ，于是A2ξ=λAξ=A2ξ由(1)知，A2=O，故有λ2ξ=0．因为特征向量ξ≠0，所以λ2=0，即λ=0，故矩阵A的特征值全为零．不妨设向量α，β的分量a1≠0，b1≠0． 对齐次线性方程组(0.E-A)x=0的系数矩阵作初等行变换，得[*] 于是A的属于特征值λ=0的全部特征向量为k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1，其中k1，k2，…，kn-1是不全为零的任意常数．
解析
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考研数学二

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