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设向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,且满足条件αTβ=0.记n阶矩阵A=αβT,试求: 矩阵A的特征值和特征向量.
设向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,且满足条件αTβ=0.记n阶矩阵A=αβT,试求: 矩阵A的特征值和特征向量.
admin
2016-01-11
62
问题
设向量α=(a
1
,a
2
,…,a
n
)
T
,β=(b
1
,b
2
,…,b
n
)
T
都是非零向量,且满足条件α
T
β=0.记n阶矩阵A=αβ
T
,试求:
矩阵A的特征值和特征向量.
选项
答案
设λ为A的任一特征值,A的属于λ的特征向量为ξ,则Aξ=Aξ,于是A
2
ξ=λAξ=A
2
ξ由(1)知,A
2
=O,故有λ
2
ξ=0.因为特征向量ξ≠0,所以λ
2
=0,即λ=0,故矩阵A的特征值全为零.不妨设向量α,β的分量a
1
≠0,b
1
≠0. 对齐次线性方程组(0.E-A)x=0的系数矩阵作初等行变换,得[*] 于是A的属于特征值λ=0的全部特征向量为k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n-1
α
n-1
,其中k
1
,k
2
,…,k
n-1
是不全为零的任意常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ee34777K
0
考研数学二
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