设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT，试求：矩阵A的特征值和特征向量．

admin2016-01-11 27

问题设向量α=(a₁，a₂，…，a_n)^T，β=(b₁，b₂，…，b_n)^T都是非零向量，且满足条件α^Tβ=0．记n阶矩阵A=αβ^T，试求：
矩阵A的特征值和特征向量．

选项

答案设λ为A的任一特征值，A的属于λ的特征向量为ξ，则Aξ=Aξ，于是A²ξ=λAξ=A²ξ由(1)知，A²=O，故有λ²ξ=0．因为特征向量ξ≠0，所以λ²=0，即λ=0，故矩阵A的特征值全为零．不妨设向量α，β的分量a₁≠0，b₁≠0．对齐次线性方程组(0.E-A)x=0的系数矩阵作初等行变换，得[*] 于是A的属于特征值λ=0的全部特征向量为k₁α₁+k₂α₂+…+k_n-1α_n-1，其中k₁，k₂，…，k_n-1是不全为零的任意常数．

解析

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考研数学二

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设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT，试求：矩阵A的特征值和特征向量．

考研数学二

设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关．(Ⅰ)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示；(Ⅱ)设，求出可由两组向量同时表示的向量．

设3阶实对称矩阵A满足A2=2A，已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换x=Qy化为λy22+λy32(λ≠0)，其中Q=(b＞0，c＞0)．求矩阵A；

设A是3阶矩阵，3维非零列向量α不是A的特征向量，且A2α+Aα-2α=0，f(x)=｜xE-A｜，则存在x0∈(-2，1)使得曲线y=f(x)在(x0，f(x0))处的切线垂直于()

设3阶矩阵A的特征值均为1，将A的第1列加到第2列得B，则｜A+B｜=()

设幂级数an(x+1)n在x=4处条件收敛，在x=-6处发散，则幂级数的收敛域为________．

设矩阵满足CTAC=B.求正交矩阵Q，使得Q-1AQ=A；

设Aij为A中aij(i，j=1，2，3)的代数余子式，二次型的矩阵为B.求可逆矩阵P，使得PTAP=B.

设A为3阶实对称矩阵，β=(3，3，3)T，方程组Ax=β的通解为k1(-1，2，-1)T+k2(0，-1，1)T+(1，1，1)T(k1，k2为任意常数)．求A的特征值和特征向量；

设3阶实对称矩阵A=(a1，a2，a3)有二重特征值λ1=λ2=2，且满足a1-2a3=(-3，0，6)T．求正交变换x=Qy，将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形；

简述癫痈发作时的护理。

急性梗阻性化脓性胆管炎最为关键的治疗是

白细胞分类计数，中性粒细胞(包括杆状核及分叶核)正常应占（）。

停训后通过训练所获得的生物适应，消退速度最慢的是()。

诸侯互相争战是东周时期历史的一大特点。下列战争中发生在春秋时期的是()。

2019年1月29日，“亚投行”在北京发布首份融资报告——《2019亚洲基础设施融资报告》。该报告不包括哪个领域的基准?()

“学到的观念越是基本，几乎归结为定义，则它对新问题的适用性就越宽广……”，这是《教育过程》中的话，试以这段话为例，评述布鲁纳的结构主义教育理论。

GeorgeSoros—theFinancialCrocodile"TheUSgovernstheinternationalsystemtoprotectitsowneconomy.Itisnotincha

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设A是3阶矩阵，3维非零列向量α不是A的特征向量，且A2α+Aα-2α=0，f(x)=｜xE-A｜，则存在x0∈(-2，1)使得曲线y=f(x)在(x0，f(x0))处的切线垂直于()

设3阶矩阵A的特征值均为1，将A的第1列加到第2列得B，则｜A*+B*｜=()

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设3阶实对称矩阵A=(a1，a2，a3)有二重特征值λ1=λ2=2，且满足a1-2a3=(-3，0，6)T．求正交变换x=Qy，将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形；

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